Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 149 
daraus folgt aber durch Differentiation nach der oberen Grenze 
x, daß 
F(x) = f(x). 
273. Integration mittels unendlicher Reihen. Wie 
schon am Eingänge von 271 bemerkt worden ist, bildet die 
Integration mittels unendlicher Reihen ein wichtiges Hilfsmittel 
solchen Funktionen gegenüber, deren unbestimmte Integration 
durch die elementaren Funktionen in endlicher Form nicht 
möglich ist. Gelingt es, die Funktion oder einen passend ge 
wählten Faktor derselben in eine gleichmäßig konvergente Reihe, 
insbesondere also in eine Potenzreihe zu entwickeln, so kann 
an dieser die Integration vollzogen werden, und das Integral 
selbst ist durch eine oder mehrere konvergente Reihen dar 
gestellt. Voraussetzung ist dabei, daß die Integrale der ein 
zelnen Glieder zu den elementaren Formen gehören. 
Beispiele. 1) Enthält das Intervall (a, x) die Null nicht, 
so hat das Integral 
X 
a 
einen bestimmten Wert, der sich in Form einer konvergenten 
Reihe darstellen läßt; es ist nämlich für jedes x 
daher 
X 
a 
a 
2) Das Integral 
X 
0 
kann für jedes x, dessen |#|^1, durch eine Reihe dargestellt 
werden. Es ist nämlich, solange — !<#<!, 
daher