Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 153 
) zerlegten 
v aus dem 
i Potenzen 
Substitution 
Demnach ist 
2 
/ ’ dx f* dx /* 
dx 
y 1 + X 4 
i. A i 1 i. 1 
2 5 ' 2 ■ 4 9 
/A _ 1 1 4- —. 1 Vi 
\2 2 5 • 2 5 ^ 2 • 4 9 • 2 9 /J 
6) Es ist in 267, 2) gezeigt worden, daß bei dem In 
tegrale*) 
/i 
«5« 
]/(1 — £C 2 ) (1 — 
> (0<Ä*<1, 0<x<l), 
die Integration bis x = 1 erstreckt werden könne, trotzdem 
die Funktion unter dem Integralzeichen für diesen Wert un 
endlich wird. Zu dieser Erkenntnis kommt man auch direkt 
durch die Substitution 
x — sin rp, 
weil durch dieselbe das Integral (4) für x = 1 in ein eigent 
liches sich verwandelt, allgemein in 
<p 
(5) 
F(Jc, <p) = Í . dtp 
sin a qp 
wo die obere Grenze (p jenen Bogen aus dem Intervalle (0, ^ j 
bedeutet, welcher der früheren oberen Grenze x entspricht; 
bei cp = y, was dem früheren x = 1 entspricht, zeigt nämlich 
diese Form nichts Besonderes mehr. (4) ist die algebraische, 
*) Für ¿ = 0 und &* = 1 gehört das Integral zu den elementaren 
und ist im ersten Falle 
X 
/i 
dx 
|/l — x s 
im zweiten Falle 
I 
dx 
1 — x' 1 
arcsin x. 
1 1 + X' 
2 1 — x' 
im ersten Falle ist die obere Grenze x = 1 zulässig, im zweiten 
Falle nicht.