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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
(5) die trigonometrische Form des elliptischen Normalintegrals 
erster Gattung, das bei vielen Anwendungen der Analysis auf 
Geometrie und Mechanik auftritt; die obere Grenze cp heißt 
die Amplitude, k der Modul des Integrals. 
Um die Berechnung in der Gestalt (4) durchzuführen, 
entwickelt man (1 — k 2 x 2 ) 2 in eine Potenzreihe, was für alle 
Werte 0 < x 2 < 1 zulässig ist, da k 2 < 1 vorausgesetzt wird; 
man erhält 
(l - k 2 x 2 Y { = 1 + y k 2 x 2 + + • • • 
und daraus weiter 
(6) 
wobei 
CO 
/i 
dx 
Y( 1 — X 2 ) (1 — lc 2 x*) 
= Jo + 9 №J% + 2T4 + ■ ' ■> 
'2p 
/* x 2p dx . 
J y 1 -- X 2 ' 
die Werte aller dieser Integrale sind durch die Formel 249,(35) 
bestimmt, indem 
(8) 
ist. 
T 1 • 3 . . . (2 p — 1) 
J 2p = —„ . U 1 arcsin x 
2 • 4... 2 p 
+ 
]/l — x 
2 p 
(2p — 1) (2p — 8) 
ix 1 “- 1 + —l x 2 “- 
\ 2 p — 2 
{2 p — 2) (2p — 4) 
Geht man von der trigonometrischen Gestalt (5) aus und 
entwickelt 
(1 — k 2 sin 2 cp) 2 = 1 ■+■ y k 2 sin 2 cp -f- ^ № sin 4 cp -f • • •, 
so kommt 
und darin ist 
(10) 
i 
J 2 = / sin 2 ^ cp dcp,