Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 155 
wofür sich aus (8) durch dieselbe Substitution, welche (4) in 
(5) übergeführt hat, die Formel 
T 1-3... (2p—1) 
= ñ 7 irr <p 
(11) 
ergibt. 
'2 p 
sin 2 
2•4 ... 2 p 
+ 
cos qp 
2 p 
(2p — l)(2p — 3) . 9 
(si 
<p +, 
2 p 
in 2 P- 3 < 
2 p 
sm 
(2 p — 2) (2 p — 4) 
sm-p-oqp _j_ 
(2 p — 1) ... B . N 
(2 P -2)...2 Sm yJ 
Als vollständiges elliptisches Integral bezeichnet man das 
jenige, dessen obere Grenze x = 1, bzw. ~ ist; sein Wert 
JF(ifc) ist, da 
/ ' x* p dx r . 9n , 1 • 3 .. . (2p — 1 
|/1 — J * * 2 ■ 4 . . . 2p 
1) 7T 
2 
durch die Reihe 
(12) 
m S-i 
dx 
]/(! — ÍC 2 ) (1 — k*x 2 ) 
1\ 2 
J yi-k* s 
& 2 sin ä qp 
dargestellt, welche um so rascher konvergiert, je kleiner k ist. 
(Vgl. die 267, 2) dafür gefundenen Grenzen.) 
Auf drei Dezimalen abgekürzt ist 
^(1) = 1,617; r(i) = 1,685; f(i)- 1,864; 
2,166 
und wächst für lim k = 1 ins Unendliche (s. die Fußnote). 
7) Zu ganz ähnlichen Rechnungen gibt das Integral*) 
*) Auch dieses Integral ist elementar, wenn k — 0, nämlich 
X 
0 
und wenn = 1, nämlich 
arcsin x,