Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 173 
Die Ausführung der durch (2) vorgeschriebenen Integration 
b 
des Integrals lf(x, y)dx nach dem Parameter y in der durch 
a 
(3) angezeigten Weise nennt man Integration unter dem Inte 
gralzeichen. 
Anders verhielte es sich, wenn die Funktion O (y), an 
welcher die Integration zwischen vorgeschriebenen Grenzen c, d 
vorzunehmen ist, gegeben wäre durch ein Integral 
<Pi (v) 
Jf(. x j y)dx, ■ 
<Poiy) 
in welchem auch die Grenzen von dem Parameter y abhängen; 
formell wäre das Resultat durch 
9>i (v) 
(5) ( dy ff{x, y)dx 
« <p»(v) 
dargestellt*, aber an die Ausführung der Integration nach y 
könnte erst geschritten werden, wenn die Integration nach x 
vollzogen wäre. Bei dem zweifachen Integral (5) kann also 
von einer Umkehrung der Reihenfolge der Integrationen im 
Sinne des obigen Satzes nicht die Rede sein. 
Die Integration unter dem Integralzeichen ist ebenso wie 
die gleichgeartete Differentiation ein Mittel, um aus vorhandenen 
Integralformeln neue abzuleiten, mitunter vorgelegte Integrale 
zu bestimmen. 
' Beispiele. 1) Für jedes y > 0 ist 
cc 
sind daher a, h zwei positive Zahlen und integriert man nach 
y von a bis h, so ergibt sich, wenn man diese Integration 
links unter dem Integralzeichen, also an der Funktion e~ xy 
b 
[ e~ xy \ e~ ax — e~ bx 
vollzieht, wodurch = erhalten wird, die 
a 
neue Formel