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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
s:(T) < s¿T"), 
weil (T") eine Fortsetzung von (T) darstellt und S 1 mit fort 
gesetzter Teilung wächst; ferner 
S^T") < S\T"), 
weil beide Summen auf der nämlichen Teilung beruhen, endlich 
S\T") < S\T), 
weil (T") auch eine Fortsetzung von (T') darstellt und 8' mit 
fortgesetzter Teilung abnimmt. Aus dem Zusammenhänge 
dieser drei Ungleichungen folgt, daß 
S^T) < 8\T), 
wodurch die obige Behauptung auch in ihrem zweiten Teile 
erwiesen ist. 
5) Jede der Summen S 1; 8' konvergiert mit unendlich fort 
schreitender Teilung von (a, Id) gegen eine bestimmte Grenze, 
welche unabhängig ist von der Art der Teilung, wenn nur sämt 
liche Teilintervalle sich der Null nähern. 
Dieser Satz ist eine Folge der bisher bewiesenen Eigen 
schaften jener Summen. Denn da 8, mit fortschreitender Tei 
lung beständig wächst und doch kleiner bleibt als alle 8', die 
ihrerseits wieder eine obere Grenze (11) Haben, so besitzt S x 
notwendig einen bestimmten Grenzwert. Das nämliche läßt 
o 
sich von 8' aussagen. 
6) Die beiden Grenzwerte, lim S x und lim 8', sind einander 
gleich. 
Laut den Formeln (8), (9) ist der Unterschied zweier auf 
die Teilung (6) bezüglichen Summen 
n 
S — Sj = ^, {x% k —s)(-^2* — 1 m 2* — l) 7 
. 1 
die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Werte der 
Funktion f{x) in einem Intervalle heißt nach Riemann die 
Schwankung der Funktion in diesem Intervalle; bezeichnet man 
sie in dem k-ten Intervalle mit <5 k , so daß 
-^2jfe-l n hk-l = ^kl 
so ist