Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 179 
das Doppelintegral der Funktion fix, y) über das Gebiet P und 
gebraucht dafür das Zeichen*) 
(10) fff(x, y)dxdy. 
p 
Der unter dem Integralzeichen stehende Ausdruck heißt 
das Element des Doppelintegrals, dxdy das Element des Inte 
grationsgebiets. Da bei geometrischer Interpretation dieses 
letztere durch eine ebene Figur, hier durch ein Rechteck, dar 
gestellt wird, so nennt man ein Doppelintegral auch ein 
Flächenintegral, und zum Unterschiede davon ein bestimmtes 
einfaches Integral ein Linienintegral. 
280. Auflösung des Doppelintegrals in ein zwei 
faches Integral. Der in Behandlung stehende Fall bietet 
das einfachste Beispiel eines Doppelintegrals dar, das sich durch 
zwei konsekutive Integrationen aus werten, also auf ein zwei 
faches Integral zurückführen läßt. 
Es handelt sich um die Bestimmung des Grenzwertes 
führt man den Grenzübergang zuerst in bezug auf x aus, so 
entsteht 
q p q ö 
lim 2Mk, n'i) =^j £ ißX x , *i)dx, 
11 1 a 
und hieraus durch Vollziehung des Grenzübergangs in bezug 
auf y 
d b 
(II) fdyffix, y)dx. 
c a 
Macht man die Grenzübergänge in der andern Ordnung, 
so ergibt sich das zweifache Integral 
*) Auch die Bezeichnungen ^ f\x, y)dxdy und f\x, y)dF 
kommen vor. p p 
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