Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 183 
Doppelintegrale einer Funktion fix, y) zu, wenn man ihre 
Werte als Applikaten einer krummen Fläche auffaßt, deren 
Gleichung also 
(17) z = f{x, y) 
ist, und annimmt, daß z im Gebiete P niemals negativ werde. 
Das Produkt f(£ k , Vi)^k e i bedeutet dann das Volumen eines 
Prisma mit der Basis 
efgh = = z/P 
und der Höhe 
/(£*> Vl) ~ 3 k,l> 
welches die von irgend einem Punkte von efgh (Fig. 123 und 
127) ausgehende Applikate von (17) ist. Die Doppelsumme 
ist das Volumen eines Körpers, der nach unten durch P, seit 
lich durch vertikale, nach oben durch horizontale Ebenen ver 
schiedener Höhenlage begrenzt ist. 
Den Grenzwert dieser Doppelsumme, also das über P aus 
gedehnte Doppelintegral der Funktion fix, y), d. i. 
(18) J jzdxdy, 
p 
erklärt man als das Volumen des über P als Basis ruhenden 
prismatischen oder zylindrischen Körpers, dessen obere Begrenzung 
durch die Fläche (17) gebildet wird. 
Das bestimmte Doppelintegral löst hiernach eine Aufgabe 
der Geometrie, welche die elementare Mathematik unerledigt 
läßt: die Bestimmung des Volumens eines krummflächig be 
grenzten Körpers. 
Ändert die Funktion f{x, y) innerhalb des Integrations 
gebietes P ihr Vorzeichen, indem sie beispielsweise längs der 
Kurve F (Fig. 126) durch Null geht, inner 
halb derselben positiv, zwischen ihr und dem 
Rande negativ ist, so bedeutet das Integral 
(18) die Differenz aus dem über F liegenden 
Volumen und jenem, welches unter dem Ringe 
zwischen F und C sich befindet. 
Fig. 126.