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Zweiter Teil, Integral-Rechnung. 
fr{ 1+ i) a 
(10*) n*)-W ,.-1 ■ 
i i -\ — 
n 
290. Weiteres über das Integral zweiter Gattung. 
Für die Auswertung der Gammafunktion ist eine Formel von 
großer Bedeutung, die sich ergibt, wenn man auf (2) partielle 
Integration mit der Zerlegung x a ~ x , e~ x dx anwendet; mau er 
hält so: 
X 
r(a) = { — e~ x x a ~ 1 } -f (a — 1) J e~ x x a ~ 2 dx, 
0 o 
d. i. 
(11) F(a) = (a - 1) F(a - 1) (a > 1). 
Ist nämlich n die größte in a enthaltene ganze Zahl, so 
daß a — n ein echter Bruch ist, so liefert die n-mal wieder 
holte Anwendung dieser Formel: 
(12) r(a) = (a — l)(a — 2) ... (a — n)F(a — n), 
und dadurch ist die Berechnung aller Werte von r(a) zurück 
geführt auf das Intervall (0, 1). Was die Grenzen dieses Inter 
valls selbst anlangt, so folgt aus (2) unmittelbar, daß JT(0) = oq 
und jT(1) = 1 ist. 
Indessen ist noch eine weitere Restriktion möglich, näm 
lich auf das Intervall ^0, , die sich durch Vermittlung eines 
Integrals ergibt, das Euler ebenfalls zum Gegenstand seiner 
Untersuchungen gemacht hat und mit dem wir uns nun be 
schäftigen wollen. 
Durch Verbindung der Formeln (3) und (9) und wenn 
gleichzeitig p -f- g = 1 genommen wird, erhält man 
x 
(13) r(p)r{l-p)=f^^- 
0 
Dieses Integral ist es, dessen Wert, wenn er bekannt wäre, die 
letzterwähnte Restriktion gestattete. Bei rationalem p — und 
auf solche darf man sich, wenn praktische Zwecke vorliegen, 
beschränken — läßt er sich aber aus dem Euler sehen Integral