Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 209 
Czuber, Vorlesungen II. 2. Aufl. 
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CO 
f 
2 m 
dx 
1 + x J 
ableiten, in welchem m, n positive ganze Zahlen bedeuten und 
m < w ist. Unter diesen Voraussetzungen besitzt nämlich 
dieses uneigentliche Integral nach 269, 1) einen bestimmten 
Wert, zu dessen Auffindung man die gebrochene Funktion 
x 2m 
- —s- in ihre Partialbrüche zerlegen und diese einzeln inte- 
1 -f- x“ 71 
grieren wird. 
Der Nenner hat n Paare konjugiert-komplexer Nullstellen 
und es möge zuerst untersucht werden, was die von einem 
solchen Wurzelpaar a + ßi, a — ßi stammenden Partialbrüche 
zum Integralwert liefern. Diese Partialbrüche werden 231, (9)) 
die allgemeine Form 
A — Bi 
x—a — ßi ‘ x — cc-\^ßi 
besitzen und in ihrer Zusammenfassung ergeben: 
2 A(x — ce) — 2 Bß 2 A(x — cc) 2 Bß 
(x-aY + ß* 
{x — cc)* + ß 2 {X— + 
Ihre unbestimmte Integration gibt weiter: 
Al({x — a) 2 -j- ß 2 ) — 2B arctg X —ß—; 
wären die Grenzen zunächst endlich und — a,h (a > 0, h > 0) 
so ergäbe sich das bestimmte Integral 
Al 
(6-ttP + P’ 
(a+«)* + ß s 
2 B (arctg b -j^ c - + arctg 
a -f- a\ 
= 2 Al — A Al 
a 
tlA 
(‘+3’+ 
2 B (arctg + arctg “y“); 
läßt man nun a, & unabhängig voneinander ins Unendliche 
wachsen, so bleibt l— unbestimmt, konvergiert das zweite 
Glied gegen 0 und das dritte gegen — 2Bn. 
Dies vorausgeschickt, kann man nunmehr schreiben; 
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