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Ist die Funk 
positiv), so hat 
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Erster Abschnitt. Grundlagen der Integral-Rechnung. 19 
X 
(32*) ff(x)dx 
a 
zte) Vorzeichen 
gebrauchen, wenn man sich daran gewöhnt, zwischen der Va 
riablen unter dem Integralzeichen — der Integrationsvariablen 
st a < & und 
Ile (a, b), ohne 
— und der variablen Grenze gehörig zu unterscheiden. 
8) Bas Integral einer endlichen Funktion f(x) ist eine 
stetige Funktion der oberen Grenze. 
Sind a,x,x-\-h drei Werte aus dem Integrabilitätsbereiche 
(cc, ß), so ist 
— a > 0 und 
x x-\-h x + h 
Jf(x)dx + J f(x)dx = j f(x)dx, 
a x a 
daraus 
x+h X x+h 
J*f(x)dx — J*f(x)dx = Cf(x) dx, 
a a x 
iehung ergibt. 
n dem Zeichen 
und für einen entsprechend ausgewählten Wert g zwischen dem 
kleinsten und größten Werte von f(x) in (x, x + h): 
x + h x 
(33) J f{x)dx — J*f(x)dx = hg- 
a a 
ntegrabilitäts- 
t, denkt sieb 
äß mit x, so 
da g endlich ist, so konvergiert die rechte Seite mit h zugleich 
gegen Null; es ist also 
limj j f{x)dx — f /■(a;)^ir|= 0, 
ieutung eines 
stammenden 
11 (32) gehört, 
und variabler 
ieser letzteren 
lie durch (32) 
womit die Stetigkeit erwiesen ist; an einer Stelle x innerhalb 
(cc, ß) kann der letzte Grrenzübergang beiderseitig (lim Ä = + 0) 
ausgeführt werden, bei a oder ß nur einseitig. 
9) Ber Bifferentialquotient des Integrals einer stetigen 
Funktion in bezug auf die obere Grenze ist der zu dieser Grenze 
gehörige Wert der integrierten Funktion. 
Ist f(x) eine stetige Funktion, so kann die Gleichung (33) 
auch in der speziellen Form (29), d. i. 
x + h x 
J f(x)dx — J f(x)dx = hf(x + 6h) 
ihne weiteres 
a a 
geschrieben werden; daraus folgt