Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen, 
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Im Sinne der Forderung A) ist der Ort solcher Punkte 
zu bestimmen, in welchen 
ist; seine Gleichung ergibt sich durch Elimination von y und 
~ zwischen dieser und den Gleichungen (8) ; (9); sie lautet: 
(x 2 y 2 )x — b {x 2 — y 2 ) — 2cxy — a 2 x -f a?b = 0. 
Die Forderung B) verlangt den Ort von Punkten, in 
welchen 
die Elimination von y, führt jetzt zu 
(.x 2 -f y 2 ) y + c {x 2 — y 2 ) — 2bxy 4- a 2 y — a 2 c = 0. 
Die verlangten geometrischen Orte*) sind also Kurven 
dritter Ordnung, welche wegen des gleichartigen Baues ihrer 
Gleichungen ähnliche Eigenschaften besitzen. 
328. Form des allgemeinen Integrals bei ver 
schiedenen Formen der Differentialgleichung. Es ist 
im voraus einleuchtend, daß zwischen der Struktur einer 
Differentialgleichung und derjenigen ihres allgemeinen Integrals 
ein Zusammenhang bestehen wird. Bevor wir diesen Zusammen 
hang in einer Anzahl wichtiger Fälle feststellen, wollen wir 
einen hiermit zusammenhängenden Begriff entwickeln. 
Es sei 
(10) 
F(x, y, G) = 0 
ein einfach unendliches Kurvensystem; auf dasselbe werde die 
Transformation (64, II) 
(11) x = y (x v y v a), y = ^ (x v y 1} a) 
mit dem veränderlichen Parameter a angewendet. Verwandelt 
*) Die Ortskurven können auch als Erzeugnisse des vorgelegten 
Kreisbüschels mit zwei projektiven Strahlenbüscheln dargestellt werden, 
die erste mit dem Durchmesserbüschel aus dem Punkte b/c, die zweite 
mit dem Polarenbüschel, welches dem genannten Punkte in bezug auf 
das Kreisbüschel entspricht.