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Erster Abschnitt. Grundlagen der Integral-Rechnung. 
x %k-\ ~ S2Jfc-l 
zulässig, d. h. auch die Summe auf der rechten Seite von (40) 
konvergiert gegen diesen bestimmten Grenzwert, welchen wir 
als. das bestimmte Integral 
b 
a 
definiert haben. Da nun die Gleichung (40) zurecht besteht 
ohne Rücksicht auf die Anzahl der Teilintervalle und das Ge 
setz der Teilung, so gilt auch 
b 
F(b) — F(a) = / f(x)dx. 
a 
Dadurch sind wir zu einem Hauptsätze der Integral-Rech 
nung gekommen, welcher das wichtigste Hilfsmittel zur Be 
rechnung bestimmter Integrale an die Hand gibt. Dieser Satz 
läßt sich folgendermaßen aussprechen: 
Ist F(x) eine stetige Funktion, welche die integrable Funktion 
f\x) zum Differentialquotienten hat, also ein unbestimmtes Integral 
von f{x), so ergibt sich das über das Intervall (a, b) erstreckte 
bestimmte Integral, indem man von dem Werte der Funktion 
Fix) an der oberen Grenze b ihren Wert an der unteren Grenze 
o subtrahiert, in Zeichen: 
b 
(41) f fix)dx = Fib) - Fia). 
a 
Für die Differenz F[b) — Fia) bedient man sich auch des 
b 
von Sarrus eingeführten Substitutionszeichens | F(x) oder des 
Symbols (,F(;r)} • 
a 
An dem Satze ist zu ermessen, welchen Vorteil es hat, 
wenn von einer zur Integration vorgelegten Funktion das un 
bestimmte Integral bekannt ist; jedes bestimmte Integral ist dann 
durch bloße Substitution seiner Grenzen in das unbestimmte 
Integral berechenbar. 
Es wird sich daher als eine wichtige Aufgabe darstellen, 
für die einfachen elementaren Funktionen und aus denselben 
zusammengesetzte Funktionsformen die unbestimmte Integration