Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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b) ^ = 1 + ^ 2 . 
' dx xy (1 -j- x*) ’ 
(Lösung: (1 -f- x 2 ) (1 -f ?/ 2 ) = Cx 2 ). 
c) y 2 dx + {xy — 1 )dy = 0; 
(Lösung: y = Ce* y *, man benutze als Variable y und xy = v). 
331. Homogene Differentialgleichungen. In 328, 6) 
wurde bereits eine homogene Differentialgleichung als ein solche 
definiert, welche y als Funktion von — darstellt, und gezeigt, 
7 J x 7007 
daß ihr Integralkurvensystem bei den perspektivischen Trans 
formationen aus dem Ursprünge unverändert bleibt. Eine 
solche Gleichung entspringt aus der allgemeineren Form 
(1) <p {x, y)dx + i>{x, y) dy = 0, 
in welcher cp{x 7 y), y){x,y) homogene Funktionen desselben 
Grades vorstellen. Ist n dieser Grad, so ist 
V{x,y) = x n (p(l, -|), y>(x,y) = x n il>(l, 
daher lautet (1) nach Unterdrückung des Faktors x n \ 
( p{ 1 , ~x) dxJr ^i 1 ’ Vj dy==0 - 
Führt man x und - = u als Variable ein*), so kommt 
x 77 
man vermöge der Beziehung 
dy = udx + xdu 
zu der neuen Form 
cp{l , u)dx -)- ^(1, u) {udx + xdu) = 0, 
in welcher sich die Variablen trennen lassen wie folgt: 
dx 
+ 
ip(l, u) du 
X ' cp (1, u) -f- uij}{l, u) 
die Integration ergibt dann 
u) du 
< = 0; 
(2) 
1 X -\- 
. C 
J <P (1, *0 H 
-(- Ulj)( 1, u) 
= c. 
*) Diese Substitution wird schon 1714 in einer Abhandlung von 
(fabriello Manfredi angegeben. Der Name „homogene Differential 
gleichung“ erscheint zum erstenmal 1726 in einer Abhandlung Johann 
Bernoullis.