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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
schrieben ist, so liegt es nahe zu fragen, ob nicht die linke 
Seite das unveränderte Resultat der Differentiation einer ge 
wissen Funktion darstelle; wäre dem so und u diese Funktion, 
so könnte statt (1) kurz 
du — 0 
geschrieben werden; das aber findet für alle Werte von x, y 
nur statt, wenn 
u = 0; 
(2) 
damit hätte man das allgemeine Integral von (1) gefunden. 
Da aber in solchem Falle 
sein muß, so folgt, daß notwendig 
8 M dN 
dy dx 
(3) 
Nur wenn also die Bedingung (3) erfüllt ist, ist die linke 
Seite der Gleichung (1) ein „exaktes Differential“; die Gleichung 
selbst heißt dann eine exakte Differentialgleichung. 
Das Vorhandensein der Bedingung (3) vorausgesetzt, kann 
die Funktion u und dadurch das allgemeine Integral auf 
folgende Weise bestimmt werden. 
Da Mdx das partielle Differential von u in bezug auf x 
vorstellt, so wird u durch Integration von Mdx in bezug auf 
x erhalten bis auf einen von y allein abhängigen Teil, so daß 
man setzen darf: 
wobei die Integration so zu geschehen hat, als ob y konstant 
wäre. Durch Differentiation dieser Gleichung ergibt sich aber 
du = Mdx + Ndy = Mdx + dfJ ^y X + dy 
und daraus schließt man, daß 
, T dfMdx . dY 
= dy 
woraus