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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
x s o y s , , 
— -f- x/y — y ~ konst. 
oder 
x 3 + 3x 2 y — y 3 = C 
das allgemeine Integral. 
2) Die Gleichung 
x(x 2 + 3y 2 )dx -f- y (j/ 2 + 3x 2 )dy = 0 
erfüllt gleichfalls die Bedingung einer exakten Differential 
gleichung. Sondert man Glieder von der Form Xdx, Ydy, 
die exakte Differentiale sind, ab, so muß dann notwendig der 
erübrigende Teil die Bedingung wieder erfüllen; in der Tat 
ist dies bei 
x 3 dx + y 3 dy + 3 (xy 2 dx + x 2 ydy) = 0 
der Fall. Und da man hier die Funktion, von welcher 
xy 2 ydy + x 2 ydy das Differential ist, unmittelbar erkennt — 
es ist dies y# 2 «/ 2 , — so kann man das allgemeine Integral 
sofort hinstellen: 
+ ~x V* = konst. 
4 2 J 
oder 
¿c 4 + y^ + Qx 2 y 2 = C. 
3) Die Gleichung e x {x 2 + y 2 -f 2x)dx -f- 2ye x dy = 0 zu 
integrieren (Lösung:^ (x 2 -f- y 2 ) e x = G) und die Gleichung 332, 
5 b) als exakte zu behandeln. 
335. Der integrierende Faktor. Wenn die Differential 
gleichung 
(1) Mdx -j- Ndy = 0 
dN 
= nicht erfüllt, so muß doch ihr all 
da: 7 
gemeines Integral, dem man die Gestalt 
(2) u = C 
die Bedingung ^ 
geben kann, so beschaffen sein, daß die Gleichung 
(3) 
du 
dx 
dx -f- ~ dy = 0 
oy * 
mit (1) dem Wesen nach übereinstimmt, d. h. daß beide für