Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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jede Wertverbindung x/y denselben Wert für ^ ergeben, 
also ein und dasselbe System von Linienelementen definieren. 
Dies ist nur dann der Fall, wenn die linke Seite in (3) sich 
von der linken Seite in (1) nur um einen nickt identisch, d. h. 
für alle Wertverbindungen von x, y verschwindenden Faktor 
unterscheidet, so daß 
(4) y(Mdx -f Ndy) = dx + dy — du. 
Ein solcher Faktor y, welcher die linke Seite von (1) in 
ein exaktes Differential verwandelt, wird ein integrierender Faktor 
der Gleichung (1) genannt, weil nach Auffindung eines solchen 
die Gleichung nach dem in 333 entwickelten Yorgange integriert 
werden kann. 
Neben y ist aber jeder Ausdruck von der Form ycp(u), 
aber auch nur ein solcher, integrierender Faktor von (1), weil, 
vermöge (4), auch 
u(p(u) (Mdx + Ndy) = rp(u)du 
ein exaktes Differential ist; durch Integration dieses letzteren 
entsteht eine Funktion 0 (u), und die Gleichung 
(5) 0(u) = C 
sagt im Wesen dasselbe aus wie die Gleichung 
u = C, 
so daß auch sie das allgemeine Integral bilden kann. 
Sind also zwei integrierende Faktoren einer Differential 
gleichung bekannt, so kann der eine durch y, der andere durch 
y(p(u) bezeichnet werden; ihr Quotient (p(u)~\E konst., einer 
willkürlichen Konstanten gleichgesetzt, gibt eine Gleichung 
von der Gestalt (5). Mithin hat die Kenntnis zweier inte 
grierenden Faktoren einer Differentialgleichung die Kenntnis 
ihres allgemeinen Integrals zur Folge. 
Als eine Methode von großer Anwendbarkeit kann die 
Integration mittels des integrierenden Faktors nicht bezeichnet 
werden*); denn die Aufgabe, zur einer vorgelegten Differential 
*) Man bringt die Methode vorzugsweise mit dem Namen L. Eulers 
in Verbindung und nennt sie nach ihm auch Methode des Eulersehen