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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
c) 3 y 2 y—aiß = x1; 
(Lösung: y A = Ce ax — X — ■ • 
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339. Differentialgleichungen erster Ordnung 
zweiten und höheren Grades. Eine Differentialgleichung 
erster Ordnung zweiten Grades, d. i. eine Gleichung von der 
Form 
(1) Ly 2 + 2My+ N = 0, 
worin L, M, N eindeutige Funktionen von x, y bedeuten, 
definiert ein System von Linienelementen von solcher Zusammen 
setzung, daß durch jeden Punkt der Ebene im allgemeinen 
— soweit sich nämlich reelle Lösungen für y ergeben — 
zwei Elemente hindurchgehen; die Richtungskoeffizienten der 
Geraden dieser Elemente ergeben sich durch Einsetzung der 
Koordinaten des Punktes in (1) und Auflösung nach y. 
Dies hat zur Folge, daß auch durch jeden Punkt der 
Ebene innerhalb eines bestimmten Bereiches zwei Integral- 
kurven hindurchgehen; mit anderen Worten, daß das System 
der Integralkurven die Ebene zweifach bedeckt. Es sind 
jedoch zwei verschiedene Fälle denkbar. Entweder sind es 
Kurven derselben Natur, die sich in jedem Punkte schneiden, 
darstellbar durch eine Gleichung mit einem veränderlichen 
Parameter; oder es kreuzen sich in jedem Punkte zwei Kurven 
verschiedener Natur, deren jede durch eine andere Gleichung 
bestimmt ist. 
Wir besprechen zuerst den zweiten Fall, welcher die Aus 
nahme bildet. Wenn nämlich (1), nach y aufgelöst, rationale 
Wurzeln liefert, wenn also iR 2 —LA 7 als vollständiges Quadrat 
sich darstellen läßt, dann zerfällt die Gleichung (1) in zwei 
Gleichungen erster Ordnung ersten Grades; jeder derselben 
entspricht ein die Ebene einfach bedeckendes einfach un 
endliches Kurveusystem und die Vereinigung beider Systeme 
ist das Integral der Gleichung (1). 
So gibt beispielsweise die Gleichung 
xyy 2 + {x 2 — y 2 ) y — xy = 0 
die allgemeine Auflösung nach y: