372 
Zweiter Teil. Integral-Rechnung'. 
dy — dx = 0, ' dy + j/ b (l dx = 0, 
deren Integrale 
y ~y~ x = c > y + y^ x= = c 
die beiden Scharen asymptotischer Linien bestimmen. Wie im 
Zusammenhalte mit der Flächengleichung zu erkennen, sind die 
asymptotischen Linien selbst auch Gerade und fallen mit den 
beiden Scharen der Erzeugenden der Fläche zusammen. 
6) Zu lösen die folgenden Aufgaben: 
a) x 2 y* + 3xyy + 2y 2 = 0; 
(Lösung: {xy -f- C)(x 2 y + C) = 0). 
b) Die Kurven zu bestimmen, bei welchen die Summe aus 
Subtangente und Subnormale der doppelten Abszisse des Kurven 
punktes gleichkommt (und allgemeiner: bei welcher t n 
= 2 hx ist). 
c) Die Kurven zu bestimmen, bei welchen das Produkt 
der Achsenabschnitte der Tangente konstant ist. 
341. Integration nach vorhergegangener Differen 
tiation. Wenn eine Differentialgleichung beide Variablen oder 
eine derselben nicht explizit enthält, so kann die Integration 
im erstgedachten Palle durch bloßes ßaisonnement, in dem 
andern Falle unter gewissen Voraussetzungen nach vorher 
gegangener Differentiation vollzogen werden. 
I. Eine Differentialgleichung, welche y allein (außer Kon 
stanten) enthält, also die allgemeine Form 
(i) m = o 
besitzt, definiert Linienelemente von bestimmten durch (1) ge 
gebenen Richtungen, deren durch jeden Punkt der Ebene so 
viele gehen, als (1) reelle Lösungen nach y' hat. Wenn dem 
nach y' = a eine Wurzel der Gleichung (1) ist, so ist jede 
Gerade 
y = ax -f- C 
ein Integral der Gleichung; das allgemeine Integral setzt sich 
also aus Systemen paralleler Geraden zusammen und kann 
durch