Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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gebracht, bildet aber eine lineare Differentialgleichung mit der 
unabhängigen Variablen p und der abhängigen x\ ist diese 
gelöst und 
(4) 
F{x, p, C) = 0 
ihr allgemeines Integral, so bleibt noch die Elimination von 
p zwischen (4) und (1) übrig. 
Bemerkenswert ist, daß die Gleichung (3) gerade für die 
aus (2) resultierenden Lösungen illusorisch wird, daß diese also 
im allgemeinen außerhalb des allgemeinen Integrals bestehen. 
Beispiel. Die Differentialgleichung 
yp* + 2 xp — y = 0, 
in der Form 
2 p 
y = ;—5 x 
J 1 — p l 
geschrieben, führt bei der eben erklärten Behandlung auf die 
lineare Differentialgleichung 
in welcher sich aber die Variablen unmittelbar trennen lassen; 
man erhält danach durch Integration 
p z x 
1 — p 2 
Eliminiert man zwischen dieser und der gegebenen Gleichung 
p, so ergibt sich 
y 2 = 4 Cx + 4 C 2 
c 
oder mit C = — 
y- = 2 cx + c l 
als allgemeines Integral, das ein System konfokaler Parabeln 
um den Ursprung als gemeinsamen Brennpunkt darstellt. 
Da aus der Gleichung 
p = 0 als einzige reelle Lösung sich ergibt, so gehört auch 
die Gerade 
V = 0 
zu den Integrallinien; im vorliegenden Falle ist sie aber in