Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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die erste hat p = C zur Folge und führt auf das allgemeine 
Integral (6); aber auch durch Elimination von p zwischen der 
zweiten dieser Gleichungen und (5) ergibt sich eine Lösung; 
diese fällt jedoch zusammen mit jener Gleichung, welche aus 
(6) und (7) durch Elimination von C resultiert und die Ein 
hüllende des durch die allgemeine Lösung vorgestellten Geraden 
systems bestimmt. 
Die CI air aut sehe Gleichung bildet den analytischen Aus 
druck für eine Tangenteneigenschaft einer ebenen Kurve, welche 
sich nur auf die Richtung der Tangente und nicht auch auf 
die Lage des Berührungspunktes in ihr bezieht. Ist nämlich 
den Tangenten einer Kurve eine Bedingung auferlegt, so wird 
sich diese im allgemeinen analytisch in der Weise darstellen 
lassen, daß der Abschnitt der Tangente auf der Ordinatenachse 
einer Funktion der Koordinaten ihres Berührungspunktes und 
ihres Richtungskoeffizienten gleichzukommen hat. Dieser Ab 
schnitt hat aber vermöge der Gleichung 
V — y = p(£ — x) 
der Tangente den Wert y—px; folglich kann 
y px = fix, y,p) 
als der allgemeine Ausdruck einer Tangenteneigenschaft an 
gesehen werden. Hängt nun die Tangenteneigenschaft nur 
von der Richtung der Tangente ah, so nimmt die Gleichung 
die einfachere Form 
y px — 
an, und dies führt zur Clairautschen Gleichung (5). 
Wird z. B. um die Kurve gefragt, hei welcher die Tangente 
mit dem aus dem Ursprünge nach dem Berührungspunkte ge 
zogenen Strahl einen konstanten Winkel 6 einschließt, so handelt 
es sich um eine Tangenteneigenschaft, hei welcher die Lage 
des Berührungspunktes in der Tangente von Einfluß ist; die 
Bedingung der Aufgabe liefert den Ansatz 
y_ 
x 
— P 
1 + 
= tg e = h, 
und daraus folgt