388 
Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
Eine etwa vorhandene singuläre Lösung läßt sich also 
sowohl aus dem allgemeinen Integral wie aus der Differential 
gleichung selbst ableiten, dort durch Bildung der Diskriminante 
in bezug auf C, hier durch Bildung der Diskriminante nach y. 
In beiden Fällen aber muß das gefundene Resultat oder seine 
einzelnen Teile (hervorgegangen aus den Faktoren der Dis 
kriminante) darauf geprüft werden, oh durch sie der Differential 
gleichung genügt wird. Trifft dies nicht zu, dann hat man 
es mit einem Orte von Knoten oder Spitzen im ersten, mit 
einem Orte von Spitzen oder Kontakten im zweiten Falle zu tun. 
Liegt insbesondere eine Differentialgleichung zweiten Gra 
des vor: 
Ly' 2 + 2My' + N = 0, 
PC 2 + 2QC + R = 0 
und ist 
ihr allgemeines Integral, so müssen, soll eine singuläre Lösung- 
vorhanden sein, M 2 — LN und Q 2 — PB einen gemeinsamen 
Faktor haben. Ein solcher kann jedoch auch einem Orte von 
Spitzen entsprechen. Ein nicht gemeinsamer Faktor, wenn er 
M 2 — LN angehört, wird einen Ort von Knotenpunkten be 
deuten, und einen Ort von Kontakten, wenn er in Q 2 — PB 
allein vorkommt. 
Ändert M 2 — LN, indem es durch Null geht, sein Zeichen, 
so wird durch M 2 — LN = 0 entweder eine singuläre Lösung 
oder ein Spitzenort bestimmt sein. Behält dagegen M 2 — LN 
immer das positive Zeichen hei, so ist M 2 — LjV = 0 in der 
Regel ein Kontaktort. 
Was von M 2 — LN gesagt worden, gilt auch von einem 
Faktor der Diskriminante. 
348. Beispiele. 1) Die endliche Gleichung 
(x — c) 2 4 y 2 = r 2 , 
Y 
i’ig. 190. 
welche hei veränderlichem c eine 
(gegenüber Verschiebungen längs 
der x-Achse invariante) Reihe glei 
cher Kreise (Fig. 190) darstellt, 
führt, wenn man c zwischen ihr und 
x — c + yy == 0