Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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eliminiert, zu der Differentialgleichung 
iß) y\ 1 + y'*) = >-*. 
Nach c, 3/' geordnet heißen die Gleichungen 
c 2 — 2 xc -j- x 2 -f- y 2 — r 2 = 0, 
fy' 2 + y* — r 2 = 0; 
die Diskriminante der ersten ist r 2 — y 2 , die der zweiten 
y 2 {r 2 — y 2 ). 
Der gemeinsame Faktor r 2 — y 2 führt zu den beiden sin 
gulären Lösungen 
V = — r, y = r, 
die in der Tat der Differentialgleichung (/3) genügen, weil sie 
y' — 0 zur Folge haben. 
Die zweitgenannte Diskriminante weist noch den Faktor 
y 2 auf und dieser führt zu dem Kontaktorte 
V = 0. 
Es sei hei dieser Gelegenheit folgendes bemerkt. Wenn 
eine Differentialgleichung neben y nur y enthält, folglich ein 
hei Translationen längs der x-Achse invariantes Kurvensystem 
darstellt (328, 1)), so kann die singuläre Lösung, falls eine 
solche vorhanden ist, nur in Geraden bestehen, welche der 
x-Achse parallel sind. Man erhält sie daher, indem man in 
der Differentialgleichung y' = 0 setzt. 
2) Die homogene Differentialgleichung 
xy' 2 — 2 yy -f- ax = 0 (a > 0), 
in bezug auf y aufgelöst und nach dem in 331 entwickelten 
Verfahren behandelt, ergibt als allgemeines Integral 
x 2 — 2 cy -j- ac 2 = 0. 
Die y-Diskriminante y 2 — ax 2 fällt mit der c-Diskriminante 
völlig überein; die Gleichung 
y 2 — ax 2 = 0 
stellt ein singuläres Integral vor, bestehend in den Geraden 
y == ± x ]/a‘ denn durch y 2 = ax 2 und yy' = ax wird die 
Differentialgleichung befriedigt.