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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
und dies vereinfacht sich vermöge der zweiten Gleichung, die 
auch in der Form 
Oi — x) dx + (y x — y)dy = 0 
geschrieben werden kann, zu 
Oi — x) dx x -f {y x — y) dy x = 0, 
woraus 
dy ± x t — x dy 
dx, y x — y dx 
oder 
(6) p t = p 
folgt. Damit ist erwiesen, daß die Tangente der abgeleiteten 
Kurve in M v parallel ist der Tangente an die ursprüngliche 
im Punkte Jf; wegen dieses Verhaltens werden beide Kurven 
Parallelkurven genannt. 
Durch die Gleichungen (5), (6) ist eine Transformation 
der Linienelemente bestimmt, bestehend in einer Verschiebung 
ihrer Punkte ohne Änderung der Richtung. Man bezeichnet 
diese Transformation als Dilatation. Wendet man sie auf die 
Differentialgleichung (4) an, so geht diese über in 
und nach erfolgter Reduktion in die endgültige Form 
(4*) oc i + y 1 p 1 =f(p 1 ). 
Die Gleichung (4) bleibt also bei Anwendung der Dilatation 
bis auf die Bezeichnung der Variablen unverändert. Daraus 
ergibt sich, daß die Evolventen einer gegebenen Kurve Parallel 
kurven sind, daß also aus einer von ihnen alle übrigen durch 
Ausführung aller möglichen Dilatationen abgeleitet werden 
können. 
Was nun die Integration der Gleichung (4) anlangt, so 
beachte man, daß sie zu den in x, y linearen Gleichungen (343) 
gehört und daher nach vorausgegangener Differentiation inte- 
o o o o 
griert werden kann. Differentiiert man also und ersetzt dx 
durch so entsteht 
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