Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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(r) 
(*) 
(1 — Ax^)y -\r Axy = 0 
Bxyy — jBy 2 +1=0. 
Fügt man zu (a) und (ß) noch, die weitere Gleichung 
+ + By' 2 + Byy" = 0 
und eliminiert A sowohl als B, so kommt man zu der Differential 
gleichung zweiter Ordnung 
(v) 
xyy" + xy 2 — yy = 0 
welche alle Kurven des Systems (a) kennzeichnet, während 
durch (y), (d) nur gewisse einfach unendliche Scharen der 
selben charakterisiert sind. 
Führt man in (rß) q an Stelle von y" ein, so entsteht 
%y{ 1 + y' 2 Y + %y' 2 Q — yy Q = 0; 
diese Gleichung gibt beispielsweise für x = y = a und y'= — 1 
— a 
Q = 
d. h. von den durch den Punkt a/a laufenden Kurven des 
Systems (a) hat diejenige, deren Tangente unter 135° zur 
¿r-Achse geneigt ist, daselbst den Krümmungsradius — nj/2, ist 
also (a > 0 vorausgesetzt) konkav nach unten und somit eine 
Ellipse (hier Kreis). Dagegen liefert x — — y = a und y' = 1 
q = a j/2, 
d. h. die durch aj—a mit einer unter 45° zur Abszissenachse 
geneigten Tangente verlaufende Kurve des Systems ist konkav 
nach oben und hat dieselbe Krümmung wie die vorige. Beide 
Elemente betreffen dieselbe Integralkurve. 
In bezug auf (rf) sind (y) und (d) zwei erste Integrale 
und die Elimination von y' zwischen beiden gibt 
also tatsächlich das allgemeine Integral (a). 
Um von der Differentialgleichung (y) auf direktem Wege 
zu ihrem allgemeinen Integrale zu gelangen, könnte man von 
der Erwägung ausgehen, daß das Glied xyy" aus der Diffe 
rentiation von xyy hervorgeht, welche aber im Ganzen die