Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 419 
[Vertikaler Wurf nach aufwärts unter Berücksichtigung des 
Luftwiderstandes; Lösung; 
s = yji l (cos ght + hvainghtj], 
§ 7. Lineare Differentialgleichungen. 
359. Definition der homogenen und der nicht 
homogenen linearen Differentialgleichung. Struktur 
des allgemeinen Integrals der ersteren. Als lineare 
Differentialgleichung erster Ordnung ist in 337 eine Gleichung 
bezeichnet worden, welche bezüglich der zu bestimmenden 
Funktion y und ihres Differentialquotienten ™ vom ersten 
Grade ist. Eine Gleichung, welche in bezug auf y und die 
Differentialquotienten bis zur w-ten Ordnung einschließlich einen 
analogen Bau aufweist, wird eine lineare Differentialgleichung 
n-ter Ordnung genannt. Ihre allgemeine Form ist hiernach 
(1) p 0 yW + p x y( n ~h + Puy^-V H f p n y =p, 
dabei bedeuten p 0 ,p v .. -,p n , p Funktionen von x allein, die als 
eindeutig, endlich und stetig vorausgesetzt werden; man kann 
auch, die Stellen x ausschließend, für welche p 0 = 0 wird, den 
Koeffizienten des höchsten Differentialquotienten auf 1 redu 
zieren, indem man die Gleichung durch p 0 dividiert. 
Von besonderer Bedeutung ist der Fall p= 0; die 
Gleichung lautet dann 
(2) p 0 yW + Pl y{n- J ) + p^-v 4 f P n y = 0 
und wird als homogene Gleichung bezeichnet zum Unterschiede 
von der nicht homogenen Gleichung (1); auch die Bezeichnungen 
reduzierte und vollständige Gleichung „Gleichung ohne zweites 
Glied“ und „mit zweitem Glied“ sind für (2) und (1) gebräuchlich. 
Wegen der wichtigen Beziehungen der Gleichung (2) zur 
Gleichung (1) wird erstere die zu (1) gehörige homogene 
Gleichung genannt. 
Im folgenden wollen wir uns der abkürzenden Schreibweise 
2P = P> 2 P ey {n ~ lU) = 0 
(g = 0, 1, .. ., w) 
für (1) und (2) bedienen; dabei ist y= y. 
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