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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
Anlaß gibt, verwandelt sieb nämlicb die Gleichung (1) in die 
folgende: 
* \^r y n + a x r^ l ~ 1 4- a 2 n w-2 4 h a n )J zdx 
+ nr x n ~ 1 + (n — 1 )a 1 r i n ~ 2 4 h a n _ i )z 
4- —g (w(w — Dr,-» + (n — l)(w — 2)a 1 r 1 B “ s 4 f 2a n _ 2 )z' + 
f ^- 1) ] = 0, 
wofür, wenn man die linke Seite der charakteristischen Glei 
chung (3) mit co(r) bezeichnet, kürzer geschrieben werden kann: 
^ *(*->) , - g (* -1) = 0. 
(jl — 1)! T ~ 
4- 
Da aber eine A-fache Wurzel von (3) ist, so hat man 
03 ( r l) = a X r i) = • • v ra(A 1} ( r l) = 
während (r,) 4= 0; infolgedessen vereinfacht sich obige Glei 
chung zu: 
Dieser Gleichung aber genügt neben andern Funktionen auch 
jedes z, dessen Ableitungen von der (A — l)-ten Ordnung an 
gefangen identisch Null sind; der allgemeinste Ausdruck, dem 
diese Eigenschaft zukommt, ist die mit beliebigen Koeffizienten 
gebildete rationale Funktion A — 2-ten Grades, nämlich 
8 — Cq -|- c t x 4~ • • ■ 4" 2 5 
daraus ergibt sich, mit abgeänderter Bezeichnung der Kon 
stanten, 
zdx — C 0 4” C i x 4~ C 2 x 2 4~ * ■ * 4~ Q_ix/~ 1 . 
Mithin lautet der aus der A-fachen Wurzel r i entspringende 
Teil des allgemeinen Integrals: 
(7) e r ^f zdx = e r ^[C 0 +G t x + C^x 2 4h • • • + CLi®*“ 1 ] 5 
er besteht, wie es der Multiplizität der Wurzel entspricht, 
aus A verschiedenen Integralen, nämlich: