Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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Ist die X-fache Wurzel r 1 komplex, = a + ßi, so gehört 
zu ihr eine ebenfalls X-fache konjugierte Wurzel a — ßi, und 
aus beiden entspringt der folgende Beitrag zum allgemeinen 
Integral: 
e aa: (cos ßx + iBmßx)[C 0 + C t x + C 2 x 2 H C x _ x x^~ r \ 
+ e aa: (cosßx — ¿sinßx)[C 0 ,J r C x 'x + C 2 'x 2 -\ C'x-i#*“ 1 ], 
welcher sich nach Einführung neuer Bezeichnungen für die 
Konstanten, und zwar: 
wie folgt schreibt: 
|e ax [(Ä 0 + A y x 4 f Ä^_ 1 x iL - 1 ) cos ßx 
| + (J5 0 + -Bi# + • • • + B x _ 1 x x ~ 1 ) sin ßx], 
365. Beispiele. 1) Zu der Differentialgleichung 
4?/"'— 6y" + 4/- y = 0 
gehört die charakteristische Gleichung 
4 r 3 — 6 r 2 -j- 4 r — 1=0; 
ihre Wurzeln ergeben sich leicht, wenn man die beiden mittleren 
Glieder auf löst in — 2 r 2 — 4 r 2 -j- 2 r + 2 r; die linke Seite 
zerfällt nämlich dann in die Faktoren (2r — l)(2r 2 — 2r-fl);, 
mithin sind 
die fraglichen Wurzeln und daher 
X 
das allgemeine Integral. 
2) Der Differentialgleichung 
y IV -4y"' + 3y" + 4y' — 4^ = 0 
entspricht die charakteristische Gleichung 
r 4 — 4 r 3 -f 3 r 2 -f- 4 r — 4 = 0,