Fünftel - Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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2 y" + V — 31] = 0, 
und die zugehörige charakteristische Gleichung 2 r 2 -f r — 3 = 0 
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besitzt die Wurzeln 1 und —; demnach ist 
i] = c x e^ -f c 2 e ~ ^ 
das allgemeine Integral, das in den ursprünglichen Variablen 
lautet: 
y = c x x + ^Lz- 
J 1 yx* 
Als zweites Beispiel wählen wir die Gleichung 
x 3 y" — Öy = 0; 
für ihre Transformierte 
rj'" — 3 7j" + 2 r[ — 6rj = 0 
ergibt sich mittels der Wurzeln yon r 3 — 3r 2 -f- 2r — 6 = 0 
das Integral 
V = c i e + c 2 cos b ]/2 + c 3 sin | ]/2; 
folglich ist 
y = c x x 3 -f c 2 cos ]/2 + c 3 sin]/21x 
das allgemeine Integral der ursprünglichen Gleichung 
5) Man integriere folgende Gleichungen: 
a) y" + 4y = 0- * 
(Lösung: y = C y cos 2x + C 2 sin 2 x.) 
b ) y" + %y' + 52/ = 0; 
(Lösung; y = e~ x {C x cos 2# -f C 2 sin 2 #).) 
c) y" — 8/' + 16/ = 0; 
(Lösung: y = Ci + (C 2 + C 3 x)e ix .) 
d) 2/"' + y" ~y —y = 0; 
(Lösung: y = -f ((7 2 -f (7 3 a:)e _x .) 
366. Integration einer nicht homogenen Gleichung. 
Methode der Variation der Konstanten. Die Integration 
einer nicht homogenen linearen Ditferentialgleichung ist auf 
Quadraturen zurückführbar, sobald man das allgemeine Integral 
oder, was auf daselbe hinauskommt, ein Fundamentalsystem von 
ezuber, Vorlesungen II. 2. Aufi. 28