Zweiter Abschnitt. Unbestimmte Integrale. 
47 
r dx 
■A r J {x — a) r (r — 1) 
a) 
r-l 
P< " X \ m irreduktibel ist, so besitzt P(x) den Faktor 
(12) 
ergeben. 
Weil (.-«)« 
(x — d) nicht und ist daher notwendig A m --4= 0; dagegen 
können mehrere von den übrigen Zählern oder auch alle Null 
sein. Von den Partialbrüchen ist also jener mit dem höchsten 
Nenner, 
immer vorhanden. 
{x — a) m ’ 
234. Beispiele. 1) Für das Integral gilt 
das Zerlegungsschema 
x 2 — l AL, 
+ 
+ 
AL 
{x + 2) 8 x -j- 2 ' {x + (a? -j- 2) s 7 
nach Beseitigung der Nenner hat man zur Bestimmung der 
Zähler die Gleichung: 
x 2 — 1 = A t {x + 2) 2 + Ä 2 (# + 2) + A 3 . 
Nun ist aber andererseits 
x 2 — 1 = (x + 2 — 2) 2 — 1 = {x + 2) 2 — 4 (x + 2) + 3, 
daher 
A l = 1/ A 2 = - 4, A 3 = 3. 
Die Vollziehung der Integration gibt 
f 
{x 2 — 1 )dx 
(¿c-)-2) 8 v 1 ' ic+2 2 (¿c —(-2) ! 
2) Die zur Entwicklung des Integrals 
+ C 
ß 
(x 2 — 2) dx 
x a {x -f- 2) 2 
notwendige Zerlegung kann in verschiedener Weise vor 
genommen werden. 
Will man zunächst die von dem Faktor x 3 herrührenden 
Partialbrüche ermitteln, so setze man 
a * — 2 = A , 4,4 , -P 
£c 3 (a? —J- 2) 2 x s ' x* ' x ' (¿c —)- 2) 2 
und multipliziere mit x 3 ; dann zeigt die Gleichung 
x 2 — 2 
(x -|- 2) s 
— ^-o + A t x A A 2 x 2 -f 
Px s 
{x 2) 2 ’