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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
die Behandlung solcher Integrale nicht angeben; der einzu 
schlagende Vorgang hängt yon der besonderen Gestalt des zu 
integrierenden Differentials ah. 
Läßt dieses durch eine Substitution sich in ein alge 
braisches Differential verwandeln, so ist die Aufgabe auf eine 
bereits behandelte zurückgeführt. Nicht immer ist es jedoch 
vorteilhaft, die Integration an diesem algebraischen Differential 
zu vollziehen, um dann wieder zu der ursprünglichen Variablen 
zurückzukehren; die Umwandlung erfüllt mitunter nur den 
Zweck, um über die Möglichkeit einer elementaren Integration 
entscheiden zu können. 
Von einigem Nutzen kann der folgende allgemeine Fall 
sein, wo ein Integral mit transzendentem Differential sich durch 
partielle Integration auf ein solches mit algebraischem Differential 
reduzieren läßt. 1st nämlich <p{x) eine algebraische Funktion, 
deren Integral 0(x) auch algebraisch ist, und i>{x) eine tran 
szendente Funktion, deren Differential algebraisch ist, so gibt 
hei partieller Integration mit der Zerlegung 
u = ip{x), dv = cp{x)dx: 
(1) jcp(x) ik(x) dx = <&(x) xk{x) — / Q(x) ik\x) dx, 
und ist somit das linksstehende Integral mit transzendentem 
Differential auf das rechtsstehende, welches auf eine algebraische 
Funktion sich bezieht, zurückgeführt. 
Der besprochene Fall tritt beispielsweise ein, wenn cp(x) 
eine rationale ganze Funktion und 
i>(x) = lw(x), arcsin 03 (x), arctg W (x), 
wobei a(x) eine algebraische Funktion ist; denn dann ist 
sowohl 0(x) wie auch 
co'(x) s’(ic) 8>(pe) 
V J S5 {xf Yl — ffi {x)* r 1 + 63 (aj)* 
eine algebraische Funktion. 
Beispiele. 1) Es ist 
n + lJ j/T-f -r*’ 
1 Cx n + l dx