Full text: Grundriss der Variationsrechnung

Rede, und es folgt daraus, dass immer dasselbe Zeichen hat, wie 
da 
e 2 cos 2 a 
cos mVa 2 cos 2 a — < 
Dies Alles setzt aber voraus, dass a beständig wachse (wie das an 
fängliche Integral fordert); im anderen Falle würde das — Zeichen 
auf der zweiten Seite von (d) stehen und damit auch von (ö'). Sonst 
würden dieselben Formeln gelten. Man kann also die Formel (d') 
auch auf diesen allgemeineren Fall erstrecken, muss aber dann auf 
der zweiten Seite einen (möglichen) Zeichenwechsel zulassen. Dieser 
kann nun nur erfolgen, wenn 
a 2 cos 2 a = c 2 
ist. Wir werden also allgemeiner 
dX cVl — e 2 cos 2 a 
da ~ 
- .... (d') 
cos a\a 2 cos 2 a — c 2 
setzen, wo der Wechsel im Zeichen eintritt, wenn a 2 cos 2 a = c 2 ist. 
Führen wir den Hülfswinkel cp ein, so dass 
asina = coscpVa 2 — c 
cp von 0 bis 7t, 
(e) 
so ist 
dX cVa 2 (l—e 2 ) (a 2 — c 2 )e 2 cos 2 cp da 
d<P Vc 2 -f \a 2 — c 2 ) sin 2 cp Va 2 — c 2 Vsin 2 cp dcp 
_ — 
1 
e 2 c 2 — (a 2 — c 2 ) e 2 sin 2 cp sin cp 
c 2 "1- (« 2 — c 2 ) sin 2 cp Vsin 2 cp 
Da cp nur zwischen 0 und 7t liegt, so ist der zuletzt stehende Bruch 
immer 1 und man hat 
dX __ — c \a 2 — e 2 c 2 V1 — /c 2 sin 2 cp 
c 2 -f- (a 2 — c 2 ) sin 2 cp 
Tc 2 
(a 2 — c 2 )e 2 
(f) 
dcp ' c 2 -f- (a 2 — c 2 ) sin 2 cp ’ a 2 — e 2 c 2 
Der Zeichenwechsel tritt ein, wenn 
a 2 cos 2 a — c 2 , d. h. sin 2 cp = 0, 
oder nur für cp = 0 und cp = n. Dies kann übrigens eintreten, 
indem etwa cp bis 0 herabgegangen ist und von da an wieder wächst. 
Da
	        
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