Rede, und es folgt daraus, dass immer dasselbe Zeichen hat, wie
da
e 2 cos 2 a
cos mVa 2 cos 2 a — <
Dies Alles setzt aber voraus, dass a beständig wachse (wie das an
fängliche Integral fordert); im anderen Falle würde das — Zeichen
auf der zweiten Seite von (d) stehen und damit auch von (ö'). Sonst
würden dieselben Formeln gelten. Man kann also die Formel (d')
auch auf diesen allgemeineren Fall erstrecken, muss aber dann auf
der zweiten Seite einen (möglichen) Zeichenwechsel zulassen. Dieser
kann nun nur erfolgen, wenn
a 2 cos 2 a = c 2
ist. Wir werden also allgemeiner
dX cVl — e 2 cos 2 a
da ~
- .... (d')
cos a\a 2 cos 2 a — c 2
setzen, wo der Wechsel im Zeichen eintritt, wenn a 2 cos 2 a = c 2 ist.
Führen wir den Hülfswinkel cp ein, so dass
asina = coscpVa 2 — c
cp von 0 bis 7t,
(e)
so ist
dX cVa 2 (l—e 2 ) (a 2 — c 2 )e 2 cos 2 cp da
d<P Vc 2 -f \a 2 — c 2 ) sin 2 cp Va 2 — c 2 Vsin 2 cp dcp
_ —
1
e 2 c 2 — (a 2 — c 2 ) e 2 sin 2 cp sin cp
c 2 "1- (« 2 — c 2 ) sin 2 cp Vsin 2 cp
Da cp nur zwischen 0 und 7t liegt, so ist der zuletzt stehende Bruch
immer 1 und man hat
dX __ — c \a 2 — e 2 c 2 V1 — /c 2 sin 2 cp
c 2 -f- (a 2 — c 2 ) sin 2 cp
Tc 2
(a 2 — c 2 )e 2
(f)
dcp ' c 2 -f- (a 2 — c 2 ) sin 2 cp ’ a 2 — e 2 c 2
Der Zeichenwechsel tritt ein, wenn
a 2 cos 2 a — c 2 , d. h. sin 2 cp = 0,
oder nur für cp = 0 und cp = n. Dies kann übrigens eintreten,
indem etwa cp bis 0 herabgegangen ist und von da an wieder wächst.
Da