§. 21. Geodätische Linie auf der Erdfläche. 
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dcp 
— -f- a Vl — e (i) 2 Q 2 V1 — & 2 sw 2 <p 
in beiden Fällen. 
Das Zeichen bleibt so lange dasselbe bis cc zu 90° wird, d. h. 
bis sin cp = 0 wird, von wo an dann das entgegen gesetzte zu 
(1 — g 2 ) c 2 
1 — e 2 p 2 
wählen ist; 7c 2 
3) Ist nun aber das Anfangsazimuth selbst 90°, so kann man 
einen oder den anderen obiger Fälle wählen. Die Entscheidung 
lässt sich durch folgende Betrachtung fällen. Aus (h) folgt, dass 
dann im Anfang c 2 = a 2 cos 2 co ist, d. h. sin cp = 0. Dies ist der 
Fall für cp = 0, oder cp = 7t. Der Fall cp = 0 setzt in (e) noth- 
wendig co 0, der Fall cp = n aber co 0 voraus, so dass erste- 
rer nur auf der nördlichen, letzterer nur auf der südlichen Erdhälfte 
eintreten kann. 
cp aber wird 0, wenn dieser Winkel vor diesem Werthe ab 
nahm und nachher wächst; derselbe wird it im umgekehrten Falle. 
Denkt man sich die geodätische Linie als nach rückwärts verlängert, 
ds 
so ist im ersten Falle kurz vor dem Anfangspunkte negativ, 
nachher positiv; während im anderen Falle die Dinge sich umgekehrt 
verhalten. 
Daraus folgt, dass auf der nördlichen Erdhälfte dieser Fall zum 
obigen zweiten, auf der südlichen aber zum ersten zu rechnen ist. 
Berechnung des Bogens. 
IY. Sei <Pi der Anfangswerth von cp , cp. 2 der Endwerth, ge 
zogen aus den Gleichungen 
cos cpi Vl — p 2 , sin « 2 == cos cp. 2 Vl — p 2 , 
sin (Ol 
so wird, insofern nicht der Werth 
cos co = q (sin cp = 0, wenn Q = cos coj sin «2) 
innerhalb der Ausdehnung des geodätischen Bogens möglich ist, der 
Bogen S sein, wenn a y das Anfangsazimuth: 
(i) 
S— a Vl — e 2 q 2 [E (cp 2 , 7c) — E(cp x , 7c)], wenn a y >> -• 
Für o: y = \ 7t gilt die zweite Formel auf der nördlichen, die erste 
anf der südlichen Erdhälfte.