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|. 21. Geodätische Linie auf der Erdfläche. 
Ist aber der Werth sin <p = 0 möglich innerhalb der Grenzen 
des Bogens, so ist 
S=—a\/l— e 2 Q 2 / ]/1 —Jc 2 sin 2 cpd(p-\-a\/ 1—e 2 q 2 v l~№sin 2 cpdcp, 
wenn «i —, 
71 
S~aV 1—e 2 Q 2 f Vl—1c 2 sin 2 cpdcp—«Vl—e 2 ^ 2 I ]/l—Tc 2 sin 2 (pdcp, 
71 
wenn «i ■ 
A 
Demnach (in diesem Falle) 
S=aV1 — e 2 i> 2 [2E(tc,Jc) — E((p u Jc)—E((p 2 ,TcJ], wenna^ljt.. 
Für a x = 17t sind diese Formeln nicht zulässig*) (oder aber sie 
müssten jetzt in ihrer Beziehung zur nördlichen oder südlichen Erd 
hälfte vertauscht werden). 
In den Anwendungen liegt die Aufgabe immer so, dass man S 
kennt, nebst a 1 , cpx («i), und daraus <p 2 , ^2 berechnen will. Da 
somit E (qpj, 1c) als bekannt darf angesehen werden, so wird sich 
in allen Fällen leicht entscheiden lassen, ob der Fall (i) oder (i') ein- 
7t 
tritt, da für «!<<; — 
A 
bei (i) S < a Vl — e 2 Q 2 E((p 1 ,1c)-, bei (i') S > a Vl — e 2 q 2 E (cp^Jc)- 
bei (i) S < a Vl — e 2 Q 2 \E(tcJc) — E{<p x , &)]; 
bei (i') S>aVl—e 2 Q 2 [E(7t,Jc) — E((p 1 ,Tc)]' 
Berechnung der Längendifferenz. 
Y. Ist nicht innerhalb der geodätischen Linie a = (was 
in IV, entschieden), so ist, wenn X 2 — k x die Längendifferenz: 
*) Die Darstellung setzt voraus, dass im Laufe der geodätischen Linie 
et = ln vorkomme, wie dies für «j = 1 n in (i) aufgefasst ist. Desshalb 
muss der Fall a 1 = Iti nur nach (i) behandelt werden, wo dann (p x = 0 
auf der nördlichen, <p^ = n auf der südlichen Erdhälfte ist.