Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Variablen. 83 
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itz: Wenn die 
vächst oder be- 
mtialquotienten 
?weise niemals 
ssen, daß der 
3rden kann, 
wir folgende 
abnehmender 
dig wachsende 
0 < a < 1 ist; 
■ 
daß l x eine 
mde Funktion; 
Grenzen, geht 
i. 
x = — cosec 2 x, 
L ist. 
X fortwährend; 
, während x 
l in ähnlicher 
x. 
vmldion f{x) in 
l an jeder Stelle 
rentialquotienten 
gibt es wenig- 
ler Differential- 
mzen Intervalle 
50 wäre sie eine 
konstante Funktion und der Satz bedürfte dann insofern keines 
Beweises, als der Differentialquotient beständig (eventuell in 
dem betreffenden Teile) Null wäre (21). 
Wir müssen also annehmen, daß die Funktion von a aus 
entweder wächst oder abnimmt; aber weder das Wachsen noch 
das Abnehmen kann durch das ganze Intervall anhalten, soll 
fiß) = 0 eintreten; daher muß eine Stelle £ zwischen a und ß 
getroffen werden, wo das Wachsen (bzw. das Abnehmen) auf 
hört; diese Stelle wird dadurch charakterisiert sein, daß sich 
ein positives g derart angeben läßt, daß für jedes 0 < ^ ^ 
/(I[-h)<m)jm + hy, 
nach den Relationen (1), (2) des vorigen Artikels ist die Funktion 
an dieser Stelle weder wachsend noch abnehmend; ferner ist 
0 fg + h)-m) ^ 0 . 
— h ^ h ^ ’ 
der erste Quotient kann für lim h = 0 nur einen positiven 
oder den Grenzwert Null haben, der zweite nur einen negativen 
oder Null; da aber beide nach Voraussetzung einen gemein 
samen Grenzwert besitzen, so kann nur 
r(l) - 0 
sein, womit der Satz erwiesen ist. Im Falle des Abnehmens 
von cc an ergeben sich analoge Schlüsse. 
Bei geometrischer Darstellung der Funktion hat der Satz 
von Rolle eine anschauliche Bedeutung; eine Kurve AB 
(Fig. 9), welche in den Punkten A und B die Abszissenachse 
schneidet und an jeder Stelle zwischen 
den genannten Punkten eine bestimmte 
Tangente hat, besitzt zwischen A und B 
mindestens einen Punkt M, in welchem 
die Tangente MT der Abszissenachse 
parallel läuft. 
Fig. 9. 
M 
A 
-JT 
Die Voraussetzungen des obigen Satzes können auch 
dahin abgeändert werden, daß f{a) = f(ß) = C ist; denn die 
Funktion f{x) — C erfüllt dann die Bedingung, für x = cc 
und x = ß zu verschwinden, ihr Differentialquotient ist aber 
wieder f'(x).