96 Erster Teil. Differential-Rechnung. 
durch Multiplikation mit dx: 
d{(p(x)ip(x)} — i>(x) ■ dfp(x) + cp{x) • dip(x) 
, (f(x) ip(x) • dq>(x) — cp{x) • dip(x) 
1p (x) ip(%) 2 ’ 
aus (41, III.) 
D n {uv) = u^v -f- (i) u ( - n ~ 1 h' -f ( 2 ) u ^ n ~^ v " + • • • + 
durch Multiplikation mit dx n : 
d n (uv) = d n u • ^ + ( ^ ) d n ~ 1 u ■ dv + ^” ) d n ~ 2 u-d?v H ud‘ l v. 
Die in diesem Paragraphen getroffene Voraussetzung der 
Konstanz von dx, d. h. seiner Unabhängigkeit von x, ist von 
so fundamentaler Bedeutung für die Differentialrechnung, daß 
es notwendig erscheint, mit einigen Worten auf sie einzugehen. 
Von vornherein stünde nichts im Wege, dx als eine 
Funktion von x zu wählen und ihm die Form dx = u%(x) zu 
gehen, wobei « eine infinitesimale, d. h. bei Grenzprozessen 
gegen Null konvergierende Größe bedeutet. Auf die Bestim 
mung der Differentialquotienten hätte dies keinen Einfluß, weil 
es bei den hier betrachteten Funktionen auf die Art, wie dx 
gegen Null konvergiert, nicht ankommt. Aber für die Diffe 
rentiale ergäbe sich hei solcher Wahl eine andere Rechnung, 
indem nämlich, f{x) — y gesetzt: 
dy = y dx 
d 2 y = y"dx 2 + y d 2 x 
d s y = y"dx 3 3y"dxd 2 x -f- y'd 3 x 
würde, worin dx, d 2 x, d 3 x, ... zu ersetzen sind durch die 
Ausdrücke 
dx = a% 
d 2 x = a 2 xx 
d*x = a 3 [xx 2 4- i 2 i'J. 
Aus jeder Annahme über %(x) würde eine besondere Diffe 
rentialrechnung folgen. Die einfachste Annahme ist %{x) = lj 
sie führt zu einem konstanten dx und weiter zu d 2 x = d 3 x = 0. 
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§ 6. 1 
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