Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Variablen. 97 
Czuber, Vorlesungen. I. 3. Aufl, 
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Es ist bemerkenswert und ein Beleg für den außerordentlichen 
Scharfsinn, daß Leibniz schon bei der Begründung der Diffe 
rentialrechnung auf diese einfachste Form derselben verfallen ist. 
§ 6. Transformation der unabhängigen Variablen. 
43. Die Differentialquotienten in bezug auf eine 
neue Variable. Es ist eines der wichtigsten Hilfsmittel ana 
lytischer Untersuchungen, daß man an die Stelle der Variablen, 
welche in einem Problem auffcreten, andere einführt, die mit 
ihnen in einem gegebenen Zusammenhänge stehen. Man be 
zeichnet diesen Prozeß als Transformation der Variablen. 
Hier soll zunächst der einfachste Fall behandelt werden, 
darin bestehend, daß in einem funktionalen Zusammenhänge 
zwischen zwei Variablen y, x, in welchem x die Rolle der un 
abhängigen Veränderlichen spielt, an die Stelle von x eine neue 
unabhängige Variable treten soll. Er erscheint in zwei verschie 
denen Formen, welche nachstehend getrennt behandelt werden. 
I. Irgend eine Funktion y der Variablen x ist mit x und 
ihren Differentialquotienten ■ • • zu einem Ausdruck 
oder zu einer Relation verbunden; an die Stelle von x wird 
u als neue unabhängige Variable eingeführt durch die Trans 
formationsgleichung 
(1) 
x = cp {u); 
wie gestaltet sich der Ausdruck oder die Relation in den Va 
riablen y, u und den neuen Differentialquotienten ~, • • • ? 
Durch Vermittlung von (1) wird y zu einer zusammen 
gesetzten Funktion von u, daher ist (28) 
dy dy dx 
du dx du" 1 
bei neuerlicher Differentiation in bezug auf u ist darauf zu 
achten, daß auch ~ durch Vermittlung von (1) Funktion von 
u ist; daher hat man weiter 
dfy d 3 y /dx\ 8 
dti 3 dx* \du) 
(£)‘+ 8