Zweitei’ Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Variablen. 99 
7 
dy 
ip\u) 
dx 
d 2 y 
qp'MW 
'0) —V 
'(u)'lp' (tc) 
dx 2 
qp' (U) s 
d s y 
[cp'(u)ip' 
'(w)'l//( M )] < p / ( w ) — 3 [cp'(u)lp"(u)—(p"(ti)'lp'(u)]cp"(u) 
dx 3 
qp'(w) 6 
Damit wäre die vorgelegte Aufgabe gelöst; den Formeln 
(5) läßt sich aber eine bemerkenswerte Gestalt geben, an der 
in der Folge festgehalten werden soll. Multipliziert man in 
der ersten Gleichung Zähler und Nenner mit du, in der zweiten 
mit du s , in der dritten mit du 5 , . . . und beachtet, daß 
cp'(u)du = dcp{ii) = dx, cp"(u)du 2 = d 2 cp(u) == d 2 x, . . ., so 
schreiben sich die Formeln (5) wie folgt: 
(6) 
v x y = 
dy 
dx 
y-. 2 __dxd 2 y— d 2 xdy 
x y dx s 
(dxd 3 y — d s xdy)dx — 3(dxd 2 y — d 2 xdy)d 2 x 
x y dx 6 
Die rechten Seiten dieser Gleichungen sind als ivirkliche Quo 
tienten aus Differentialen anzusehen, und diese Differentiale 
beziehen sich auf eine beliebige, alle jedoch auf dieselbe unab 
hängige Variable. Diese Formeln (6) werden daun zur An 
wendung kommen, wenn in dem funktionalen Zusammenhänge 
zwischen y und x die unabhängige Variable noch der freien 
Wahl überlassen bleiben soll. Entscheidet man sich für x, so 
ist dx als konstante Größe zu behandeln, infolgedessen d' 2 x = 0, 
d s x = 0, . . . zu setzen; dann führen (6) auf die Gleichungen 
I) « = ( h D 2 v = - y I) 3 u = d - y 
x " dx’ x d dx 27 x d dx 3 ’ ' 7 
deren Inhalt ein bloß formaler ist. Wählt man dagegen y als 
unabhängige Variable, vertauscht also die Rollen zwischen y und 
x, so gilt dy als konstant und ist somit d 2 y — 0, d z y = 0,. ..; 
führt mau dies in den Formeln (6) ein und dividiert jedesmal 
Zähler und Nenner durch die entsprechende (1., 3., 5., . . .) 
Potenz von dy, so kommt