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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
TJ * V Byx 
(7) 
Die erste dieser Formeln ist die notwendige Wiederkehr des 
Satzes in 2*7. 
Zu der Einführung einer neuen unabhängigen Variablen 
sei eine allgemeine Bemerkung hinzugefügt, die mit den Aus 
führungen am Schlüsse von 42 im Zusammenhänge steht. So 
lange x unabhängige Variable ist, stehen benachbarte Werte 
x und x + dx an allen Stellen des Bereichs gleich weit von 
einander ab und es besteht die Vorstellung, daß sich der 
Punkt (x) auf der Zahlenachse gleichförmig im positiven Sinne 
bewege. Das alles überträgt sich nun auf die neue Variable u, 
gilt aber nicht mehr von x. Benachbarte Werte von x, die 
zu benachbarten Werten u und u + du der neuen Variablen 
gehören, haben nun variablen Abstand, der sich nach der 
Gleichung dx=cp'{u)du regelt, und während sich der Punkt 
(u) in seinem Gebiete gleichförmig bewegt, führt (x) seinerseits 
im allgemeinen eine andere Bewegung aus und kann unter 
Umständen auch die Bewegungsrichtung wechseln. So wird, 
bei festem du, dx umso größer sein, je größer der Betrag 
von cp'(u) ist; ferner wird sich der Punkt [x) in gleichem 
oder in entgegengesetztem Sinne als (u) bewegen, jenachdem 
cp' (ii) positiv oder negativ ist, und wird (bei stetigem Verlaufe 
von cp'(u)) seine Bewegungsrichtung ändern, wenn cp'(ja) sein 
Vorzeichen wechselt, also durch Null geht. 
44. Beispiele. Die Anwendung der gewonnenen Formeln 
mögen die folgenden Beispiele erläutern. 
1) Zwischen y, x und den beiden ersten Differentialquo 
tienten bestehe die Beziehung: 
d 2 ij x dy y 
dx 2 1 — x 2 dx '1 — x 2 
wie gestaltet sich dieselbe, nachdem an die Stelle von x die 
unabhängige Variable u mittels der Gleichung 
eingeführt worden ist? 
X = cos u