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Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Yariablen. 101 
X 
;e Wiederkehr des 
ängigen Variablen 
die mit den Aus- 
mhange steht. So 
>enachharte Werte 
s gleich weit von 
ig, daß sich der 
im positiven Sinne 
ie neue Variable u, 
Werte von x, die 
• neuen Variablen 
;r sich nach der 
id sich der Punkt 
ährt (x) seinerseits 
und kann unter 
schseln. So wird, 
großer der Betrag 
i (x) in gleichem 
wegen, jenachdem 
stetigem Verlaufe 
, wenn <p'(u) sein 
wonnenen Formeln 
m Differentialquo- 
Stelle von x die 
Aus den Formeln (2) ergibt sich 
dy 
dx 
dy 
du 
sin u ’ 
d*y 
dx % 
d-y , dy 
— sin u ■ —=—^ 4- cos u • ~ 
du 2 du 
sin 3 M 
und durch Eintragung dieser und des Wertes von x in die 
gegebene Gleichung verwandelt sich diese in 
d*y 
du 3 
+ y = 0. 
2) Die zweideutige, in dem Intervall (— a, -f- d) reelle 
Funktion 
y-±~V* rzr x i 
kann durch die Substitution 
x = a sin u 
in eine eindeutige, nämlich 
y = h cos u 
umgewandelt werden, und zwar ergibt sich der positive Zweig 
in dem Intervall ^, -J- , der negative Zweig in dem 
Intervall von u. Es sind die Differentialquotienten 
in der Variablen u darzustellen. 
Auf Grund der Formeln (5) erhält man 
^ = _ h to- u d * y - b 
dx a ° ’ dx 2 a 2 cos 3 M 
3) Der Ausdruck 
unter der Voraussetzung gebildet, daß x als unabhängige 
Variable gilt, soll so umgestaltet werden, daß die Wahl der 
unabhängigen Variablen noch frei steht. 
Zu diesem Zwecke setze man für ^ == -^ a; 0 un d -^xV 
die Werte aus (6) ein, und nach einfacher Umgestaltung er 
gibt sich: