Dritter Abschnitt. 
Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. 
§ 1. Partielle Differentialquotienten und Differentiale. 
Das totale Differential. 
45. Stetigkeit der Funktionen mehrerer Variablen. 
Es sei ein Bereich F der beiden unabhängigen Variablen x, y 
gegeben (8) und auf diesem Bereiche z als eindeutige Funktion 
dieser Variablen definiert: z = f(x, y) (11). Man kann den 
Bereich P durch einen Teil der auf ein rechtwinkliges Achsen 
system bezogenen Ebene geometrisch darstellen so, daß jedem 
Punkte M (Fig. 12), welcher inner 
halb oder auf der Begrenzung 
dieses Teiles liegt, eine Wortver 
bindung xjy entspricht, die dem 
Bereiche angehört. Durch Zu 
hilfenahme einer dritten Achse 
wird es möglich, auch den zu xjy 
gehörigen Funktionswert z in die 
Darstellung einzubeziehen; diese 
dritte Achse möge im Ursprung 0 
auf der Ebene XOY senkrecht stehen und ihre positive Rich 
tung OZ nach oben, die negative OZ' nach unten wenden; 
aus M werde nun eine Parallele zu OZ oder OZ' geführt, je 
nachdem z positiv oder negativ ist, und auf ihr die Länge von 
| z 1 Einheiten abgetragen; der Endpunkt F dieser Strecke, 
die man die Applikate von F nennt, kann dann zur Darstellung 
von z an der Stelle xjy dienen. 
Läßt man x ein Intervall (cc 0 , ß 0 ) stetig durchlaufen und 
ordnet ihm Werte y zu, welche eine stetige Funktion von x 
konstituieren, jedoch so, daß die Wertverbindung xjy oder der 
Punkt xjy beständig dem Bereich angehört, so beschreibt der 
Fig. 12.