Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. 105 
irve KL. Da y 
; z = f{x, y) bei 
und ist es eine 
binkt xjyjz oder 
igen, z = f(x, y) 
dies P eindeutig 
i stetig, so heißt 
iktion beben wir 
iche P stetig ist, 
Bereichs zu einem 
\end Meines posi- 
erschiedene Wert- 
* I y'—y 1 <V, 
ser Satz die Be- 
littelpunkt eine 
einer so kleinen 
er zu einem be- 
3 Funktionswert 
ach um weniger 
■ Definition der 
rch M geführten 
iin Grenzpunkt, 
b, daß für jeden 
Punkt die Be- 
nr alle Geraden 
izpunkten einen 
3r bestimmt die 
nochene Eigen- 
der Stelle xjy; 
i Zentrum M und 
drat ein. 
gewöhnlich nimmt man sie zum Ausgangspunkte und erklärt 
dann fix, y) als stetig im Bereiche P, wenn es an jeder Stelle 
desselben stetig ist. Übrigens kann man den Inhalt des Satzes 
auch in der Form ausdrücken, es sei der zu der Stelle xjy 
gehörige Funktionswert f(x, yj der Grenzwert von fix, y ) bei 
beliebiger unaufhörlicher Annäherung von xjy’ an xjy, in 
Zeichen 
(2) lim fix, y) = f{x, y). 
x' = X, y' = y 
Ist fix, y) eine in dem Bereiche P stetige Funktion, so 
ist der Ort der Punkte F, welche die Werte der Funktion in 
dem oben entwickelten Sinne darstellen, eine Fläche und 
z = fix, y) wird die Gleichung dieser Fläche genannt. 
Zur Erläuterung der vorstehenden Ausführungen diene die 
Funktion fix, y) = 
2ìc y 
x 2 + 2/ s 
Sie ist für alle Wertepaare xjy 
eindeutig bestimmt, mit alleiniger Ausnahme von 0/0, wo ihr 
Ausdruck jede Bedeutung verliert. Verfolgt man sie längs der 
durch diese Stelle geführten Geraden y = hx, so nimmt sie 
2 kx 2 
den Ausdruck fix, hx) 
x\l + /c 2 ) 
an, der unabhängig ist von 
x und, wie klein auch dieses werden möge, den Wert - 8 
1 IC 
annimmt, so daß lim fix, y) auf jeder durch 0/0 geführten 
x = 0, y = 0 
Geraden einen bestimmten, auf jeder aber einen andern Grenz- 
2 Je 
wert annimmt. Die betrachtete Funktion ist stetig im 
Bereich der ganzen #i/-Ebene mit Ausnahme der Stelle 0/0; 
sie ist stetig, weil konstant, längs jeder durch diese Stelle ge 
führten Geraden, und doch nicht stetig an dieser Stelle selbst. 
Daher ist in der oben aufgestellten Definition für die Stetig 
keit im Bereiche P die Voraussetzung der eindeutigen Be 
stimmtheit an jeder Stelle des Bereichs unerläßlich. 
Von einer Funktion u = <&ix x , x 2 ,. . . x n ), welche für einen 
gewissen Bereich der n Variablen x x , x 2 , . .. x n eindeutig defi 
niert ist, wird man in Analogie mit der für eine Funktion 
zweier Variablen hervorgehobenen Eigenschaft sagen, sie sei 
an der Stelle oder in dem Punhte xjxj .,. ¡x n stetig, wenn sich 
zu einem beliebig kleinen positiven s ein hinreichend kleines