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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
49. Ausdehnung auf drei und mehr Variable. 
Handelt es sich um eine in dem Bereich D eindeutig definierte 
und stetige Funktion u = f(x, y, z) der drei Variablen x, y, z, 
so läßt der Bereich auch noch eine geometrische Versinnlichung 
zu (9) und die Betrachtungen von 47 gestatten fast wörtliche 
Übertragung. Der von dem Punkte M des Raumes, welcher 
der Wertverbindung xfyfz der Variablen zugeordnet ist, aus 
gehende Halbstrahl M{ß) sei durch die Winkel cp, cf, % 
charakterisiert, die er mit den positiven Halbachsen des (ortho 
gonalen) räumlichen Koordinatensystems einschließt, und werde 
mit dem entgegengesetzten Halbstrahl M(S') zusammen kurz 
als „Richtung S 11 bezeichnet. Dann ergibt sich unter der 
(allerdings zu weit gefaßten) Voraussetzung der Existenz und 
Stetigkeit der partiellen Diiferentialquotienteu der 
o cc o y 0 z 
totale Differentialquotient in der Dichtung S: 
(9) 
du 
ds 
du . du , . du 
cos CC + 75— COS CÜ + 75— COS 7 
dx ^ dy ^ dz K 
und daraus das totale Differential: 
(10) du = dx + dy + || dz, 
also 
(10*) du = d x u + d y u -j- d z u, 
wobei die Richtung eindeutig bestimmt ist durch 
dx dy 
| ydx*-\- dy*-\- dz 2 1 \ydx*-\-dy*-\-dz* \ 
dz 
. , - r = COS 7. 
\ydx*-\-dy*+dz*\ A 
Bei einer Funktion u = f(x l , x 2 , . . ., xf) von n (> 3) Va 
riablen hört auch die Möglichkeit der geometrischen Darstellung 
des Bereiches D auf; man behält aber die geometrische Aus 
drucksweise bei, ordnet der Wertverbindung xjxj. . . fx n einen 
Punkt M im w-dimensionalen Raume zu, bezogen auf ein 
w-achsiges orthogonales Koordinatensystem; spricht ferner von 
der Richtung, welche den Punkt M mit dem Punkte 
M 1 .. . x x + dx 1 /x 2 -(- dx 2 f. . . fx n -f dx n 
verbindet und bestimmt sie durch die Richtungskosinusse