Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. 119 
und (2), daß 
ausführt; man bezeichnet daher den betreffenden Differential- 
lll (x, X + h), 7] 
rner ist dieVor- 
rch h, 1t gekenn- 
ind sie überdies 
Lurcb den Grenz- 
qnotienten mit 
dx*dy ' 
Ist die Funktion u = f{x, y, z) m-mal in bezug auf x, 
w-mal in bezug auf y und j)-mal in bezug auf z zu differen- 
tiieren, so darf man diese m -f « -\-p Differentiationen in be 
liebiger Reihenfolge zur Ausführung bringen; ihr Resultat 
drückt man durch das Symbol 
)en Vorgeführten 
d m+n+p u 
dx m dy n ds p 
aus. 
Durch den Umstand, daß die Reihenfolge mehrerer Diffe 
rentiationen nach verschiedenen Variablen keinen Einfluß auf 
teile xjy und in 
nng dieser Stelle 
, und sind die 
das Endergebnis übt, vermindert sich die Anzahl der von ein 
ander verschiedenen Dififerentialquotienten einer bestimmten 
Ordnung gegenüber derjenigen, welche statthätte, wenn die 
Reihenfolge von Einfluß wäre. Im letztgedachten Falle hätte 
man nämlich bei einer Funktion von n Variablen 
n Stelle, so ist 
n r 
azen Gebiete die 
dehung an jeder 
ulieren, daß das 
nktion nach zwei 
welcher man die 
Dififerentialquotienten r-ter Ordnung zu unterscheiden ent 
sprechend der Anzahl der Variationen mit Wiederholung von 
n Elementen in der r-ten Klasse; wogegen sich die Zahl in 
Wirklichkeit auf 
n{n 1) • • • (n -f- r — 1) 
1 • 2 ■ • ■ r 
stellt, entsprechend der Anzahl der Kombinationen mit Wieder 
holung von n Elementen in der r-ten Klasse. 
ich auf mehr als 
,s zwei Yariable 
veimal in bezug 
werden, so zeigt 
Itige Schema 
Man spricht bei Funktionen mehrerer Variablen von reinen 
und gemischten Dififerentialquotienten, je nachdem die Diffe 
rentiation nur nach einer oder nach mehreren Variablen erfolgt. 
*) Zur Bezeichnung der höheren partiellen Differentialquotienten 
; = yxx, 
von f(x ) y) sind auch die Zeichen 
mde Buchstaben 
ist, ob man die 
xyx oder yxx 
hx 1 ) fxy) f x3 7 fzpy} • • * 
oder einfacher 
f xx , f*y, fyy; f. mm , f xxy , • • • 
gebräuchlich.