Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. 121 
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d 2 z 
2 xy d 2 z 
2xy 
d x 2 
(x 2 +y 2 ) 2 ’ dy 2 
(x 2 +y 2 ) 2 ’ 
und 
d 2 z 
x 2 -f- y 2 — 2 y 2 
y 2 — x 2 
dxdy 
(x 2 +yr 
{X 2 + y 2 ) 2 
d 2 z 
x 2 -f- y 2 — 2x 2 
y 2 — X 2 
dydx 
(x 2 +y 2 ) 2 
{x 2 + y 2 ) 2 ’ 
d 2 z d 2 z 
also tatsächlich 75—5— = 5— • 
dydx dydx 
3) Es ist zu zeigen, daß die Gleichung 
d 2 js _ 2 _ y 2 ^ d 2 z 
d x 2 ® Z x 2 dy 2 
durch die Funktion 
qVa.- 2 +xy 
z = e lY J 
befriedigt wird. 
54. Totale Differentialquotienten und Differen 
tiale höherer Ordnung. In 47 ist für den totalen Differential- 
quotienten in der Richtung $(qp, ip) einer Funktion z = f{x,y) f 
welche an der Stelle x/y die dort angeführten Bedingungen 
erfüllt, der Ausdruck 
dz dz dz 
:r = cos cd + cos 
ds dx dy 
gefunden worden; seine Bildungsweise spricht sich darin aus, 
daß man die partiellen Diiferentialquotienten mit den zugeord 
neten Richtungskosinus zu multiplizieren und die Produkte zu 
addieren hat. 
Sofern nun die Funktion z an der Stelle x/y auch alle 
partiellen Differentialquotienten 2., 3., . . . n-ter Ordnung zu 
läßt, und sofern diese stetig sind, besitzt sie auch höhere 
totale Differentialquotienten in der Richtung $; der zweite 
totale Differentialquotient ist: 
? dz dz 
d 2 z ds ds 
-j-5 = -5— cos qp 4- -5— cos ip: 
ds 2 dx ^ dy ’ 
führt man aber die rechts an gedeuteten Differentiationen aus, 
wobei zu beachten ist, daß cos qp, cos ^ konstant sind, so 
findet sich: