Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. 125 
+C)=rr) 
§ 3. Differentiation zusammengesetzter und impliziter 
Funktionen. 
'S 1p 
55. Zusammengesetzte Funktionen einer Variablen. 
Es seien u, v, ... eindeutige und stetige Funktionen von x\ 
y — f(u, v, . . .) eine eindeutige stetige Funktion von u, v,. . ,; 
d n+1 z „+1 , 
dy n+1 ’ 
... d” + 1 * , 
für -¡-¡: da 
3x n+1 ' 
) gilt allgemein 
r Ausdruck: 
dann ist y auch eindeutige stetige Funktion von x und wird 
eine zusammengesetzte Funktion von x genannt. 
Um ihren Differeutialquotienten in bezug auf x zu be 
stimmen, gehe man von einem Werte x aus und erteile dem 
selben eine Änderung Ax-, dadurch ändern sich auch die zu 
x gehörigen Werte von u, v, . . . um Au, Av, ... und der zu 
diesen Werten u, v, . . . gehörige Wert von y um z/i/; auf Grund 
der gemachten Voraussetzungen konvergieren mit Ax zugleich 
uck: 
auch Au, Av, ... und Ay gegen den Grenzwert Null. Nun 
besteht zwischen Au, Av, . . . und Ay die Beziehung 
Ay = + ¿u, v + Av, . . .) — f(u, v, . . .); 
die rechtsstehende totale Differenz unterscheidet sich von dem 
ir als zwei Va- 
3r Schwierigkeit 
Ob y, 8): 
totalen Differential — und ein solches ist vorhanden, wenn 
f(u, v, . . .) an der betrachteten Stelle partielle Differential 
quotienten nach u, v, . . . besitzt und diese stetig sind an der 
i)’«, 
betrachteten Stelle (47) — um Größen höherer Kleinheitsord 
nung als Au, Av, . . ., so daß 
~ du ^ u '^~^^ vJ v‘'‘ J r E t^ uJ r £ 2Av-\----, 
;e hat beispiels- 
wobei s 1} 8 2 , ... Größen bedeuten, welche mit Au, Av, . . . 
zugleich gegen Null konvergieren. Die Änderungen Au, Av, . . . 
von u, v, . . . ihrerseits unterscheiden sich von den betreffenden 
ß(y® + dy) dy 2 
Differentialen — und solche sind vorhanden, wenn u, v, . . . 
an der Stelle x bestimmte Differentialquotienten besitzen — 
um Größen höherer Kleiuheitsordnung als Ax, so daß 
a da . . 
Au = Ax -f- % Ax 
l JL. 
wenn unter mit Ax gleichzeitig gegen Null konver 
gierende Größen verstanden werden. Wird dies in die voran 
gehende Gleichung eingetragen, so kommt