Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. 129
;re Gattung von
In den oben zusammengestellten Beispielen hat man der
Reihe nach
Hon n-ten Grades
|^ = 2a n x + 2a n y, = 2a^x + 2a 22 y,
le endliche Zahl
J¿ X + J~y = 2a n x2 + 4 «12^ + 2 «22 y ¿ = 2 fl
dann
df l cf l'df cf Vx + Vn . 1 r
dx 2 Yx* dy 2}/y' dx dy J 2 2'’
:tionen
endlich (53, 2))
df y df - x ■ df x 1 8f v-0-0 f
dx x^-j-y*’ cy £c 2 —2/ 2 ’ dyJ
om Grade die
57. Implizite Funktionen einer Variablen. Die
Hilfsmittel zur Differentiation von Punktionen einer und mehrerer
Variablen, soweit sie bisher entwickelt worden sind, bedürfen
noch einer wichtigen Ergänzung. Sie reichen zunächst nur
dann aus, wenn die betreffende Funktion durch einen Ausdruck
Hein als variabel,
dargestellt ist, in welchem die Variablen untereinander und
mit konstanten Größen durch eine endliche Folge der bekann
ten elementaren, algebraischen oder transzendenten, Operationen
so hat man links
ind erhält so:
verbunden sind; man sagt in solchem Falle, die Funktion sei
explizite und in endlicher Form gegeben. Es wird sich nun
darum handeln, die Differentiation auch dann zu vollziehen,
,w, ...) die (
w dt '
wenn die Funktion mit den Variablen durch eine Gleichung
verbunden erscheint, welche nicht die eben gedachte Form
hat, mit anderen Worten, wenn die Funktion implizite gegeben
ist (17).
setzt man, nach-
Es gibt allerdings Fälle, wo man die zweite Form auf
ch u — x, v = y,
die erste durch Auflösung der Gleichung zurückführen kann;
aber selbst da ist es nicht immer vorteilhaft, diesen Weg ein
zuschlagen.
f-
Angenommen, f(x, y) sei eine in dem Gebiete P stetige
I 1 unktiou und besitze dort stetige partielle Differentialquotienten
ferentialquotienten
•n Variablen mit
so gebildeten Fro-
chte Funktion.
in bezug auf x und y, von welchen der letztere an keiner
Stelle verschwindet; ferner erlange f\x, y) im Gebiete P den
Wert c, jedoch nicht an einer oder mehreren einzelnen Stellen,
sondern für alle Wertverbindungen xjy, welche den Punkten
Czuber; Vorlesungen: I. 3. Aufl. 9
