Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Y ariablen. 131
sehen; dann ist
t, und zwar für
y = cp (x) diese
Einsetzung yon
entisch, d. i. für
) als zusammen-
ferentialquotient
.nktion konstant
nmer einen be
laß der, partielle
aen Wertverbin-
welche der Glei-
Begriffe des to-
snten einer F unk-
a läßt sich das
n. Ist KL (Fig.
gs welcher die
W ein Punkt
Verbindung x/y
anderer Punkt
gleich Null und bleibt es, wenn sich M x statt in der Richtung
M(ß) längs KL dem Punkte M nähert; dabei nähert sich
die Richtung M(S) der Richtung M(T) der Tangente an KL
im Punkte M, folglich ist auch
df df df n
ds ex ^ dy ’
wo cp, i) die Winkel der Tangente mit M{K) und M(Y) be
zeichnen; da nun
cos/i/j k dy
cos cp h = + Q h dx ’
so fällt die voranstehende Gleichung mit der Gleichung (8)
zusammen.
Die Gleichung (8) bezeichnet man als das Ergebnis der
Differentiation der Gleichung (7) in bezug auf x; sie wird ge
bildet, indem man die linke Seite von (7) zuerst partiell nach
x differentiiert, dann den partiellen Differentialquotienten nach
y mit dem Differentialquotienten von y nach x multipliziert
und die Summe beider Ausdrücke gleich Null setzt.
Wendet man die gleiche Regel auf die Gleichung (8) an,
so ergibt sich unter Voraussetzung der Existenz der zweiten
partiellen Differentialquotienten von f{x, y):
. K . f J1L. M^fdyidy^n
dx 2 dxdy dx ' dy dx 2 ' \_dxdy dy 2 dxJ dx U
oder, wenn man reduziert:
(10)
. dy d*f (dy\* df (Py
dx 2 dxdy dx ' dy 2 \dx) ' dy dx 2 ’
aus welcher Gleichung sich eine Bestimmung für ergibt,
nachdem man für || den Wert aus (9) eingesetzt hat.
Behufs Ermittelung des dritten Differentialquotienten
müßte die Gleichung (10) abermals in bezug auf x differentiiert
werden, usw.
Ist durch die Gleichung (7) y als mehrdeutige Funktion
definiert, so setzen wir voraus, daß die Werte von y nach dem
Prinzip der Stetigkeit in Zweige gesondert sind, d. h. so, daß
y mit x stetig sich ändert (10). Die obige Rechnung erledigt
die Frage nach den Differentialquotienten von y für alle Zweige
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