Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. 137 
d 2 f dv dv 
' dv 2 dx dy ' 
Bntialquoti enten 
das unter (14) 
P mehr als zwei 
igkeit. 
= u, so ist: 
x 
•) 2 U 1 
xdy x 2 ’ 
*), (15) (17): 
i 
x 2 7 
h, wenn man 
iriablen. Es 
ge und stetige 
•arti eilen Diffe- 
innerhalb des 
izelten Stellen, 
n xjyjz derart, 
: Funktion der 
x, y bilden, in geometrischer Ausdrucksweise: sie nehme den 
Wert c längs einer das Gebiet P durchsetzenden Fläche an. 
Dann ist durch die Gleichung 
(18) f{x, y, z) = c 
z implizit als eindeutige stetige Funktion von x, y definiert- 
wäre z = cp (x, y) die explizite Darstellung dieser Funktion, so 
müßte die Einsetzung von cp(x, y) an Stelle von z die Gleichung 
(18) identisch befriedigen, d. h. für jede Wortverbindung xjy 
des betreffenden Gebietes P. 
Sonach erscheint die linke Seite von (18) als zusammen 
gesetzte Funktion der Variablen x, y und hat zufolge (11) den 
partiellen Differentialquotienten 
df dx df dy df dz 
dx dx ' dy dx ' dz dx 
in bezug auf x, und dieser muß, da es sich um eine konstante 
Funktion handelt, Null sein: beachtet man noch, daß = 1 
7 dx 
und ■— = 0 (weil y von x unabhängig ist), so entsteht die 
Gleichung: 
(19) 
dx dz dx 
aus welcher, 
(20) 
wenn 
4^- =t= 0 ist, folgt: 
df 
dz dx 
dx df’ 
dz 
in gleicher Weise ergibt sich, wenn man nach y differentiiert, 
( 21 ) i + = 
und daraus unter der gleichen Bedingung: 
(22) 
dl 
dz dy 
dy df 
dz 
[Die Voraussetzung, daß ~ nicht verschwindet, braucht nur 
C Z 7 
für solche Wertverbindungen xjy/z erfüllt zu sein, welche der 
Gleichung (18) genügen.]