Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. 141 
dcp d<p 
d(p dcp 
dz dx 
dx dy 
dop dop 
= Y, 
dop dop 
dz dx 
dx dy 
so lautet die Lösung 
(26) 
dy = Y 
dx X ’ 
dz_Z 
dos X 
Für die Differentiale von y, z ergibt sich daraus bei ge 
gebenem dx die Darstellung 
dy = ^ dx, dz = ^ rf#, 
so daß 
(26*) dx : dy : dz = X: Y: Z. 
Sind auch die zweiten Differentialquotienten erforderlich, 
so hat man die Gleichungen (25) nochmals unter Rücksicht 
nahme darauf zu differentiieren, daß ^^ abermals 
’ dx’ dy’ dx’ dy 
zusammengesetzte Funktionen von derselben Art sind wie cp, rp 
selbst; als Resultat ergibt sich das Gleichungspaar: 
d 2 cp , o d*cp dy 2 d 2 ? dz „ d 2 cp dy dz 
d x 2 dxdy dx dxdz dx' dydzdxdx 
(Ppp fdy\ 2 . dy fdz\ 2 dy d*y dcp d 9 y __ 
dy 2 \dx) dz 2 \dx) dy dx 2 ' dz dx 2 
d 2 op . ^ d il l> dy 2 d 2 op dz ~ d 2 op dy dz 
dx 2 dxdy dx dxdz dx dydzdxdx 
. d^y [dy\ 2 , S 2 op /dz\ 2 . d 2 i/ d'ip d 2 2 
dy 2 Vdav c*£ 2 \da:/ dy dx 2 22 d« 2 ; 
das wieder nur unter der Bedingung 
X + 0 
• • d^ y d^ z 
zu einer Bestimmung von ^ führt, nachdem die Werte 
(26) in (27) eingetragen worden sind. 
Die eben behandelte Aufgabe ist ein spezieller Fall des 
folgenden allgemeinen Problems der Differentialrechnung: Es 
sind r simultane Gleichungen zwischen n -f r Variablen x 1} 
x 2 ,... x n , u 1} u 2 ,. . . u r gegeben; dadurch sind im allgemeinen 
r von den Variablen, z. B u 1} u 2 , . . . u r , als Funktionen der n 
übrigen x x , x 2 , ... x n , die voneinander unabhängig sind, be